- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •3. Определение общего, частного и особого решения
- •4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Метод изоклин
- •5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •6. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
- •7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение. Запишем уравнение в виде
- •Откуда, разделяя переменные
- •И, интегрируя, находим
- •Уравнение примет вид
- •Разделяем переменные, тогда
- •Интегрируя
- •8. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение уравнения (8.1) находят в виде
- •Откуда, выполняя замену и интегрируя по частям, находим
- •Следовательно, общим решением будет функция
- •9. Уравнения Бернулли и Риккати
- •10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •11. Интегрирующий множитель
- •12.Уравнения, неразрешенные относительно производной
- •Отыскание решений уравнений вида
- •1. Пусть уравнение (12.1) удается разрешить относительно производной, тогда (12.1) распадается на уравнения вида
- •13. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
- •Интегрируя его в пределах от до тождество
- •Таким образом, удовлетворяет интегральному уравнению при
- •4.Краснов м.Л. Обыкновенные ифференциальные
- •Часть 2. «Специальные разделы математического анализа» (под редакцией а.В. Ефимова, б.П. Демидовича). М., Наука,
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений …………………………………………………….4
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6. Уравнения с разделяющимися переменными
1.Неполные уравнения.
Общее решение простейшего дифференциального уравнения в предположении непрерывности функции на некотором отрезке [а,b] имеет вид . Если задать в полосе а<x<b точку , то через нее будет проходить одна и только одна интегральная кривая .Все остальные получаются сдвигом одной интегральной кривой, параллельным оси Оу.
2. Уравнение вида называется автономным, оно сводится к предыдущему случаю, если переменные х и у поменять местами. Запишем уравнение в виде
(6.1)
Все интегральные кривые содержатся в формуле
Это и есть общий интеграл уравнения (6.1). Все интегральные кривые получаются сдвигом одной интегральной кривой, параллельным оси Ох. Если f(y) обращается в нуль при у = d, то функция у = d, очевидно, будет решением уравнения (6.1), это решение может оказаться особым.
2. Уравнения с разделенными переменными
1.Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является, уравнение вида
,
где каждая из функций и зависит только от одной переменной. Такие дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем его общий интеграл:
.
3. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными в дифференциальной форме имеют вид
.
Уравнение легко сводится к предыдущему уравнению путем почленного деления его на , после чего может быть получен общий интеграл:
,
.
При проведении почленного деления дифференциального уравнения на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и найти особые решения дифференциального уравнения, которые не принадлежат семейству общего решения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, записанные, как разрешенные относительно производной, имеют вид
(6.2)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Пример1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Разделим переменные . Интегрируя, находим т.е. или
Отсюда получаем общее решение:
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные
Интегрируя левую часть этого уравнения по у, а правую по х, получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
,
Особых решений нет.
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
.
Делим обе части уравнения на :
.
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения
или .
Здесь уравнение имеет вид . Его решения , являются решениями данного дифференциального уравнения, но не входят в общий интеграл. Значит, решения являются особыми решениями.
4. Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
К уравнениям с разделяющимися переменными могут быть приведены и уравнения вида
.
Вводя замену z = at+bx, получим уравнение относительно переменных z и x