5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные равнения являются математической моделью многочисленных физических, химических, биологических и др. процессов. При составлении дифференциальных уравнений весьма часто используют физические законы, которые описывают соотношение между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Например, в механике – законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгоффа, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и т.д. Если физический закон протекания процесса неизвестен, то для составления дифференциального уравнения прибегают к гипотезе о линейности процесса “в малом”, т.е., например, считают, что в течение малого промежутка времени ∆t участвующие в процессе величины изменяются с постоянной скоростью. Составляют соотношения между приращениями этих величин и, переходя к пределу при ∆t→0, получают уравнение, содержащее производную по времени. Дифференциальное уравнение – это как бы “мгновенный снимок процесса” в данный момент времени, интегрируя дифференциальное уравнение, мы по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса в целом.

Задача 1. Пусть в резервуаре имеется a кг водного раствора соли, в котором содержится b кг соли. В определенный момент включается устройство, непрерывно подающее в резервуар с кг чистой воды в секунду и одновременно удаляющее из него ежесекундно с кг раствора. При этом в самом резервуаре жидкость непрерывно перемешивается. Как изменяется количество соли в резервуаре?

Решение. Примем за начало отсчета момент t. Пусть y(t) – искомая функция, выражающая в каждый момент времени t количество соли в резервуаре. В силу условия задачи и соглашения об отсчете времени, y(0)=b. За малый промежуток [t,t+∆t] из резервуара с раствором выльется (y(t)-(y(t+t))) кг соли. Так как концентрация в рассмотренный промежуток времени убывала от до , то ,

причем неравенства являются строгими, если c0, b0, разделив это неравенство на t, получим

Исходя из характера рассматриваемого процесса, можно заключить, что y(t) – непрерывна, значит,

В результате получаем

т. е. y(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

С учетом начального условия y(0)=b решение этого уравнения имеет вид

Полученная формула показывает, что процесс опреснения раствора в резервуаре происходит по экспоненциальному закону.

Таким образом, дифференциальное уравнение, моделируя процесс, описывает эволюцию процесса, показывает характер происходящих с материальной системой изменений. При этом не обязательно изменения происходят во временном промежутке.

Приведем пример вывода уравнений из других областей естествознания, приводящих к экспоненциальному закону.

Задача 2. При определении давления воздуха над уровнем моря в зависимости от высоты p(h) поступают следующим образом. Рассматривают два горизонтальных сечения столба воздуха на высоте h и h+h, опирающегося на площадку размером 1м². Давление на высоте h+h будет меньше на величину p, равную весу воздуха в столбе между двумя сечениями: p=dh, где d – вес одного кубометра воздуха при давлении p. Полагая, что во всех сечениях между h и h+h давление постоянно в силу закона Бойля – Мариотта, получают d= k p, где k – коэффициент пропорциональности. Выполняя деление на h в равенстве p=- k ph и переходя к пределу при h0, получают дифференциальное уравнение

.

Приведем еще один пример использования физического закона при составлении дифференциального уравнения.

Задача 3. Пусть требуется узнать, за какое время упадет на поверхность Луны камень с высоты h. Пусть x(t) – высота камня над поверхностью в момент времени t.

Решение. Согласно закону свободного падения, открытому Г.Галилеем, все тела, независимо от их массы, падают в поле силы тяжести с постоянным ускорением a,

( для поверхности луны а=1/6g), следовательно, Интегрируя дважды, находим

Постоянные С₁, С₂ находим из условий х(0)=0, и х(0)=h. Функция описывает закон движения камня. Моменту удара t камня о поверхность соответствует x(t)=0, поэтому ответ задачи .

Задача 4. Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью  делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении   (считая от оси ).

Решение. При решении геометрических задач можно использовать уравнение касательной:

где  – координаты произвольной точки искомой линии, а (Х,У) – координаты точки, лежащей на касательной. Иногда удобнее исходить из геометрического смысла производной. В данной задаче достаточно заметить, что . Откуда и получаем дифференциальное уравнение .

рис .5

Можно рассуждать иначе. По условию задачи . Треугольники  и  – подобны. Следовательно,

Откуда находим

Точка  принадлежит касательной, поэтому

Подставляя выражение для  в предыдущее равенство, получаем дифференциальное уравнение первого порядка:

Так как, линия проходит через точку , то подставляя в общее решение координаты точки, получаем значение константы

Окончательно, получаем уравнение искомой линии

Рассмотрим простейшие и наиболее распространенные в приложениях случаи, когда решение уравнения может быть выражено через элементарные функции или интегралы от них.