8. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Линейное уравнение может быть записано в виде

(8.1)

где а(х) и b(х) - коэффициенты уравнения считаются заданными на некотором интервале ( ). При b(х)=0

(8.2)

уравнение (8.1) называется однородным линейным уравнением, в противном случае неоднородным.

Теорема существования и единственности для линейного уравнения имеет особенно простой смысл.

Теорема. Пусть функции а(х) и b(х) непрерывны в некотором интервале ( ) . Тогда через каждую точку полосы проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (8.1).

Действительно, разрешая уравнение (8.1) относительно производной приведем его к виду

В частности, единственным решением однородного линейного уравнения, удовлетворяющего нулевым начальным условиям

у = 0 при ( )

является нулевое (тривиальное) решение у(х) 0 ( ) Из теоремы существования и единственности следует, что интегральная кривая однородного линейного уравнения, проходящая через точку, не лежащую на оси Ох не может ни пересекать ось Ох, ни касаться ее.

Решения однородного линейного уравнения обладают двумя характерными свойствами:

1) если есть частное решение, то , где С – любое постоянное число, тоже является решением;

2) если - ненулевое частное решение, то все решения уравнения (8.2) содержатся в . Эта формула дает общее решение однородного линейного уравнения.

Существует несколько методов решения этого уравнения.

Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных, предложенный Ж. Л. Лагранжем. Решение однородного уравнения (8.2) представляется, очевидно, формулой

. (8.3)

Все решения уравнения (8.2) содержатся в данной формуле, так как разделяя переменные мы могли потерять только нулевое решение, но и оно содержится в (8.3) при С=0.

Следовательно, линейное уравнение не имеет особых решений, если коэффициент а(х) есть непрерывная функция.

Формула (8.3) показывает, что при С<0 график решения однородного уравнения лежит выше оси ОХ, а при С ниже. При С=0 получается тривиальное решение у(х) 0. Таким образом, из теоремы существования и единственности следует, что линейное однородное уравнение не имеет решений пересекающих ось ОХ.

Решение уравнения (8.1) находят в виде

. (8.4)

Подставляя (8.4) в (8.1), получаем уравнение

Откуда

и, следовательно, общее решение уравнения (8.1) имеет вид

(8.5)

Чаще используется метод Бернулли. В этом случае решение находят в виде . Подставляя в уравнение, получим

.

Выберем теперь так, чтобы

, т.е.

- решение однородного уравнения. Из множества функций , обращающих выражение в нуль, можно выбрать самую простую функцию, положив . Поэтому

.

Функцию определяем из оставшегося уравнения

, т.е. .

Откуда, .

Перемножая функции и , приходим к (8.5).

Формула (8.5) показывает, что общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения ( получающегося из (8.5) при С=0).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение: Пусть , а . Тогда

или

Для определения функции v(х) решаем уравнение

.

Разделяя переменные, получаем

,

откуда или . Подставим найденное выражение для v(х) в исходное уравнение, тогда

,

или , откуда .

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид

.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Решение: Положим y uv, тогда и .

Определим v(х) так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда

, .

Интегрируя уравнение, найдем , откуда получаем .

Функция определяется из уравнения , ,

.

Отсюда

.

Используя начальное условие , найдем , откуда . Искомое частное решение будет иметь вид .

Пример 3. Проинтегрировать уравнение

Решение: Это – линейное уравнение. Решим его методом Бернулли. Полагая , имеем

,

или

.

Полагаем , откуда ; интегрируя, находим

или

(постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно найти какое-либо частное решение этого вспомогательного уравнения).

Для определения имеем уравнение или , откуда находим

_.

Умножением на , получаем общее решение

.

Замечание. Нелинейное уравнение

(8.6)

сводится к линейному, если переменную рассматривать как функцию аргумента у. Тогда переписывая (8.6) в виде

.

получаем линейное уравнение.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y

Ищем общее решение данного уравнения в виде .

Дифференцируя, получаем

.

Далее, подставляя x и в уравнение, приходим к уравнению

.

Функцию v (y) найдём из условия

.

Берём любое частное решение этого уравнения, например, , тогда

.