+ 12 (e−(t −π ) +sin(t −π)−cos(t −π))σ(t −π).
Задача 5
Решить систему дифференциальных уравнений
x′ = 3y |
, x(0)= 2 , y(0)= 0 . |
|
|
y′ = 3x +1 |
|
Решение задачи
|
• |
|
′ |
• |
|
|
x(t)← X (p) |
|
|
|
|
|
|
x (t)← p X (p)− 2 |
|
||
• |
|
• |
. |
||
Пусть |
• |
. Тогда |
|
• |
|
y(t)←Y (p) |
y′(t)← p Y (p) |
|
|||
|
• |
|
|
• |
|
• |
1 |
|
|
Так как 1 =1 σ(t)← |
|
, то система операторных |
|
p |
|||
• |
|
уравнений примет вид:
pX (p)− 2 = 3Y (p)
pY (p)= 3X (p)+ 1p .
Получили систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно изображений X (p) и Y (p):
pX (p)−3Y (p)= 2
−3X (p)+ pY (p)= 1p .
Найдем решение данной системы по формулам Крамера.
Вычислим определитель системы
вспомогательные определители
= |
|
p |
−3 |
|
= p2 − 9 и |
|
|
||||
|
|
− 3 |
p |
|
|
17
|
|
2 |
− 3 |
|
|
|
3 |
|
2 p |
2 |
+ 3 |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
= |
1 |
p |
|
= 2 p + |
= |
|
, |
2 |
= |
− 3 |
1 |
= 7 . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (p)= 1 = |
2 p2 + 3 |
Y (p)= |
2 = |
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||
|
p(p2 − 9), |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
p2 − 9 |
|||||||||||||||||||
Частные решения x(t) и y(t) являются оригиналами для вычисленных изображений. Чтобы найти x(t), разложим дробь
2 p2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
p(p2 − 9)на сумму простейших: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 p2 + 3 |
A |
|
B |
|
C |
|||
|
|
= |
|
+ |
|
|
+ |
|
. |
|
p(p − 3)(p + 3) |
p |
p −3 |
p + 3 |
|||||
Из этого следует, что
2 p2 + 3 = A(p − 3)(p + 3)+ Bp(p + 3)+ Cp(p − 3).
В последнем равенстве положим p = 0 . Тогда 3 = −9 A , или
A = − |
|
1 |
|
. При |
|
p = 3 : |
|
21 =18B , |
значит |
|
|
|
B = |
|
7 |
. |
При p = −3 : |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21 =18C , откуда C = |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||||||
|
X (p)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
• |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
→ |
|||||||||||||
|
|
p(p − 3)(p + |
3) |
|
|
|
p − 3 |
|
|
p + 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
• |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
1 |
|
σ |
(t)+ |
7 |
|
σ(t) e3t |
|
|
7 |
σ |
(t) e−3t , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
6 |
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Y (p) |
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
7 |
sh 3t σ(t). |
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
p2 − 9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 − 9 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
18
x(t)= − 13 σ(t)+ 73 ch 3t σ(t)
Таким образом, .
y(t)= 7 sh 3t σ(t)3
19
Вариант 1
1. По данному графику оригинала найти изображение.
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
2 a |
3a |
t |
|||||||||
0 |
|
||||||||||
|
|||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Найти оригинал по заданному изображению |
|
|
|||||||||
F (p)= |
|
|
4 p + 5 |
|
p e−3 p |
|
|
||||
(p − 2)(p2 + 4 p + 5)+ |
|
. |
|
|
|||||||
p2 + 9 |
|
|
|||||||||
3.Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0)= y′(0)= 0 ,
y′′− y = th t .
4. Операционным методом решить задачу Коши
y′′+ y = 6et , 0 ≤ t ≤ 2 ,
0, t > 2
y(0)= 3 , y′(0)=1 .
5. Решить систему дифференциальных уравнений
x′ = x + 3y + |
2 |
|
, |
y′ = x − y +1 |
|
x(0)= −1 , y(0)= 2 .
20