- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2.
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Таблица оригиналов и изображений
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Свойство линейности
- •Теорема запаздывания
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Теорема смещения
- •Теорема разложения
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Теорема о дифференцировании оригинала
- •Теорема об умножении изображений
- •Определение
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
et |
− |
e−2 t |
|
|
|
3 |
t − |
e−2 t |
cos |
3 |
t . |
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
sin |
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Так |
как |
|
|
|
|
|
→t σ(t), |
|
то по теореме |
смещения |
|||||||||||||||
|
p2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
• |
|
|
|
σ(t) e2t . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→t |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(p − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяя теорему запаздывания, имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(t −3). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
e−3 p →(t − 3) σ(t |
− 3) e |
|
|||||||||||||||||
|
(p − 2)2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, по свойству линейности оригинал, |
|||||||||||||||||||||||||
соответствующий изображению F (p), будет равен |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f (t)= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 t |
e− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
et |
−cos |
2 t − |
|
3 sin |
3 t e−2 t |
σ(t)+ |
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (t − 3) e2(t −3) σ(t − 3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти |
|
решение |
|
|
дифференциального |
|
|
уравнения, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
удовлетворяющее начальным условиям y(0)= y |
(0)= 0 , |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
− y = ch3 t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Справочный материал |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теорема о дифференцировании оригинала |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
(n) |
Если |
f (t)← F(p) |
|
и |
|
функции |
|
f |
|
|
||||||||||||||||
|
|
f (t), |
(t),K, f (t) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются оригиналами, то
10
f ′(t)←• p F(p)− f (0),
•
f ′′(t)←• p2 F(p)− p f (0)− f ′(0),
•
f ′′′(t)←• p3 F(p)− p2 f (0)− p f ′(0)− f ′′(0),
•
KKKKKKKKKK,
f (n)(t)←• pn F(p)− pn−1 f (0)−K− f (n−1)(0).
•
Теорема об умножении изображений
|
|
• |
|
f2 |
|
• |
(p), то |
Если f1(t)← F1(p), |
(t)← F2 |
||||||
|
|
• |
|
|
|
• |
|
|
F1 |
|
|
• |
t |
|
(t −τ)dτ . |
|
(p) F2 (p)→∫ f1(τ) f2 |
||||||
|
|
|
|
• |
0 |
|
|
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл |
|
∫t |
f1(τ) f2 (t −τ)dτ |
называется сверткой |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
оригиналов |
f1(t) и f2 (t), и обозначается |
f1(t) f2 (t), т. е. |
f1(t) f2 (t)= ∫t f1(τ) f2 (t −τ)dτ .
0
Следовательно, умножению изображений соответствует свертка их оригиналов, т. е.
F1(p) F2 (p)→• f1(t) f2 (t).
•
Обозначим через L преобразование Лапласа, а через L −1 -
обратное преобразование Лапласа. Тогда схема решения линейного дифференциального уравнения операционным методом кратко выглядит так, как показано на рисунке 2.
11