Чтобы определить оригинал y(t), представим Y (p)

в виде

произведения

F(p)

= F (p)

1

.

Так

как

p2 −1

p2 −1

1

•

→sh t σ(t), то по

теореме

об умножении

p2 −1

•

изображений получим

y(t)=

1

σ(t) sh tσ(t)= ∫t

1

σ(τ)

sh(t −τ)σ(t −τ)dτ =

ch3 t

0 ch3 τ

=

τ ≥ 0 σ(τ)=1

=

t

1

(sh t chτ − ch t shτ)dτ =

∫

t −τ ≥ 0 σ(t −τ)=

1

0 ch3 τ

t

t

dτ

t

d (chτ)

t

ch t

1

= sh t ∫

−ch t ∫

= sh t thτ

0

+

=

ch2

0 ch2

τ

0

ch3 τ

sh2 t

2

τ

0

ch t

1

1

ch t

= sh t th t +

−1

=

+

−

σ(t).

2

2

ch

t

ch t

2 ch t

2

Задача 4

Операционным методом решить задачу Коши

cos t, 0 ≤ t ≤ π

y(0)= 2 , y′(0)= 0 .

y′′+ y′ =

,

0, t >

π

Решение задачи

Пусть y(t)

•

← Y (p). Тогда

•

′

•

Y (p)− y(0)= p Y (p)−2 ,

y

(t)← p

•

′′

•

2

Y (p)− p y(0)

′

2

Y

(p)− 2 p .

y (t)← p

− y

(0)= p

F (p)=

p

+

p

e−π p .

p2 +1

p2 +1

p2Y (p)−

2 p + pY (p)− 2 =

p

p

+

e−π p .

p2 +1

p2 +1

Разрешив его относительно Y (p), получим

Y (p)p(p +1)= 2(p +1)+

p

+

p

e−π p , или

p2 +

p2 +1

1

2

1

1

Y (p)=

+

(p +1)(p2 +1)+

(p +1)(p2 +1) e−π p .

p

2

1

•

σ(t).

1)

= 2

→2

p

p

•

1

2)

Для изображения

(p +1)(p2 +1) оригинал можно найти