- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 7.2.
- •Справочный материал
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Таблица оригиналов и изображений
- •Задача 1
- •Справочный материал
- •Свойство линейности
- •Теорема запаздывания
- •Решение задачи
- •Задача 2
- •Справочный материал
- •Теорема смещения
- •Теорема разложения
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 3
- •Справочный материал
- •Теорема о дифференцировании оригинала
- •Теорема об умножении изображений
- •Определение
- •Решение задачи
- •Задача 4
- •Решение задачи
- •1 – ый способ
- •2 – ой способ
- •Задача 5
- •Решение задачи
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
1 – ый способ
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Дробь |
(p +1)(p2 +1) |
можно представить в виде суммы |
||||||
простейших дробей: |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
A |
|
Bp + C |
|||
|
|
(p +1)(p2 +1)= |
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
p +1 |
p2 +1 |
Умножив обе части последнего равенства на (p +1)(p2 +1), получим уравнение
1 = A(p2 +1)+ (Bp + C)(p +1).
Чтобы найти неопределенный коэффициент A , подставим в
это уравнение p = −1. Тогда 1 = 2A , или |
A = |
1 |
. |
||
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
Приравнивая коэффициенты |
при p2 , p1 и p0 в обеих |
||||
частях тождества, получим систему линейных уравнений |
|||||
0 |
= A |
+ B |
|
|
|
|
= B |
+C , |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
= A +C |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
из которой можно найти остальные неопределенные
коэффициенты |
B |
и C . Из первого уравнения этой системы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
B = − |
1 |
, из второго уравнения C = |
|
1 |
. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
p + |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(p +1)(p2 +1)= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|||||||||||||
|
|
p +1 |
|
p2 +1 |
|
|
|
|
|
2 |
p +1 |
2 |
p2 +1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
• |
1 |
σ |
(t) e−t − |
1 |
|
cos t σ(t)+ |
1 |
sin t σ(t). |
||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
p2 +1 |
2 |
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
2 – ой способ
|
Для |
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
p1 = −1 , |
p2 = i |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(p +1)(p2 +1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
p3 = −i |
|
- |
простые |
|
полюсы. |
|
|
|
Поэтому, |
|
используя |
теорему |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разложения, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pt (p |
+1) |
+ |
|
|
|||||||||||||
|
(p +1)(p2 +1) |
|
lim |
|
|
|
|
(p +1)(p2 +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p→ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pt |
(p −i) + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→ i |
(p |
+1)(p −i)(p +i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e pt |
(p + i) |
= |
e−t |
+ |
|
eit |
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(1 + i)2 i |
|
|
||||||||||||
|
p→ − i (p +1)(p −i)(p + i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e−it |
|
|
1 |
e |
−t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(1 −i)eit |
1 |
|
|
|
(1 + i)e−it |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(1 −i)(− 2 i) |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
it |
− e |
−it |
|
|
e |
it |
|
|
+ e |
−it |
|
|
1 |
(e−t |
|
+sin t −cos t). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
e−t |
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
1 |
(e−t +sin t −cost)σ(t), |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3) Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(p +1)(p2 |
|
+1) |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
по теореме запаздывания получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−π p |
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p +1)(p2 |
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•→ 1 (e−(t −π ) + sin(t −π)− cos(t −π))σ(t −π).
• 2
Таким образом, по свойству линейности
y(t)= |
2 |
+ |
1 |
(e−t +sin t −cos t) |
σ(t)+ |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
16