9698

Отсюда следует, что M1O = {−x1, − y1,−z1} −− N = {3, −2, −1}

N

M1

d

y

x O

Рис. 11.10

Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем

80

Отсюда находим M1 (−1.5,1, 0.5) .

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M 0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая фиксированная точка этой

прямой и S = {m, n, p} – вектор, параллельный прямой L , называемый

направляющим вектором этой прямой

z

S

M 0

y

r0

r M

x

Рис. 12.1

Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые

параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x0 + m t

y = y0 + nt (12.2)

z = z0 + p t

81

Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от −∞ до +∞ точка M (x, y, z) «пробегает» всю прямую L . В частности, при t = 0 уравнения (12.2) дают координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

Выразим параметр t из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим

уравнениям прямой в пространстве

Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них (12.4). Это уравнение плоскости, параллельной оси O z . Так как координаты любой точки прямой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости

z

L

y

O

x

Рис.12.2

Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией прямой L на эту координатную плоскость.

Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,

82

получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.

В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей П1 и П2 имеют вид

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 (12.5)

Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см. рис.

2.3).

y

x

Рис. 12.3

Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2 не параллельны. Пусть, например,

83

Получим уравнения прямой в пространстве, проходящей через две

M1M2 ={x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}, и тогда канонические уравнения примут вид

12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой

впространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

M 1

M 0

Рис.12.5

Требуется найти координаты точки M 2 и расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем

85

Поэтому искомое расстояние вычисляется по формуле

M1M2 ={x2 - 0, y2 + 7, z2 - 2} = M2 (3, -2,4) , поэтому окончательно получаем

M 2 (3, −2, 4) .

В частности, таким способом можно находить расстояние между параллельными прямыми в пространстве как расстояние от точки, взятой на одной прямой, до другой прямой.

86

12.3. Пересечение прямых в пространстве. Пусть две прямые L1 и

L2 заданы каноническими уравнениями

Выясним условия пересечения этих прямых. Предполагаем, что направляющие векторы этих прямых S1 = {m1, n1, p1} и S2 = {m2 , n2 , p2} не коллинеарны, что исключает случаи параллельности или совпадения этих

Рис. 12.6

Ясно, что прямые будут принадлежать одной плоскости, а значит

пересекаться в точке M 0 , тогда и только тогда, когда три вектора S1 , S2 и

Как найти координаты точки пересечения прямых? Проведём через каждую прямую плоскость, проецирующую эту прямую на какую-нибудь из координатных плоскостей. Например, рассмотрим плоскости, проецирующие эти прямые на плоскость xOy . Пересечение этих плоскостей – это прямая, перпендикулярная плоскости xOy . Координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью xOy совпадают с соответствующими координатами точки пересечения данных прямых (см.

рис. 12.7).

87

L1

M 0

y

Рис.12.7

Нахождение координат точки (x0 , y0 ) сводится к решению системы

а третья координата может быть найдена из уравнения прямой L1 или L2 . Пример. Доказать, что прямые

и M1M2 = {0,12,−1}, вычисляя определитель:

Следовательно, эти прямые пересекаются. Координаты точки пересечения находим, решая, например, систему

Её решение x0 = 7, y0 = −20 . Из уравнения, допустим, первой прямой найдем третью координату z0 = 3 . Итак, точка пересечения этих прямых

M 0 (7, −20,3).

12.4. Расстояние между двумя прямыми. Случай параллельных прямых мы рассматривали в п.12.2. Поэтому пусть прямые скрещивающиеся, следовательно, расположены в параллельных плоскостях (см. рис. 12.8), расстояние между которыми и будет искомым расстоянием между прямыми.

Рис.12.8

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями