9698
.pdf
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Вычислить интеграл |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1− 5sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Сделаем замену |
t = tg x . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2t |
|
|
|
|
1 + 2 tg x |
|
|
|||||||
I = ∫ |
|
1 + t2 |
= ∫ |
dt |
1 |
∫ |
d 2t |
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
ln |
|
|
|
+ C = |
|
ln |
|
|
|
+ С . |
||||||||
|
- 5 |
t2 |
1 - 4t 2 |
2 |
1 - (2t )2 |
4 |
1 - 2t |
4 |
|
1 - 2 tg x |
||||||||||||||||||||
1 |
1 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Интеграл вида ∫ R(sin x,cos x)dx , где |
R(sin x, cos x) |
|
– рациональная |
функция синуса и косинуса, можно привести к интегралу рациональной дроби (правильной или неправильной) с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
t = tg x , (−π < x < π) .
2
В этом |
|
случае |
|
sin x |
|
и |
|
|
cos x |
|
|
выражаются |
по |
известным |
|||||||||||||||||||||
тригонометрическим формулам |
|
через новую переменную |
|
t следующим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = |
|
2t |
|
|
cos x = |
1 − t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а из соотношения t = tg |
x |
|
|
следует, что |
x |
= arctg t и |
|
dx = |
2dt |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|||||||||
Пример. Найти интеграл |
I = ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4cos x + 3sin x + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Применяя универсальную подстановку |
t = tg |
x |
, |
получаем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
I = ∫ |
|
|
|
1 + t 2 |
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
+ C = − |
|
|
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 - t 2 |
|
|
2t |
|
(t + 3)2 |
t + 3 |
tg |
x |
+ 3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
×1 + t 2 + 3 × |
1 + t 2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Заметим, что применение универсальной подстановки часто приводит к достаточно громоздким выражениям, поэтому использовать ее нужно только после того, как исчерпаны другие возможности.
Лекция 31. Комплексные числа
211
31.1. Введение. Вспомним, как развивалось понятие числа, начиная от чисел натуральных до чисел действительных. Если операция сложения во множестве натуральных чисел выполнима без ограничений,
то операция обратная |
сложению, т.е. решение уравнения a + x = b , |
выполнима только при |
b > a . Если отказаться от этого ограничения, то |
получатся «новые» числа – отрицательные. Так «родились» целые числа, во множестве которых сохранены все свойства суммы и обратная операция
– разность, результатом которой является число x = b - a .
Во множестве натуральных чисел также не всегда разрешима задача, обратная операции умножения, т.е. решение уравнения a × x = b . Для её решения необходимо и достаточно, чтобы b было кратно a . Возникла необходимость расширения множества целых чисел до чисел рациональных. В этом множестве обратная операция – деление, результатом которой является число x = b : a , разрешима с ограничением a ¹ 0 . Для рациональных чисел сохраняются свойства операций сложения и умножения.
Оказалось, что во множестве рациональных чисел не всегда разрешима задача извлечения квадратного корня из положительного числа, например, неразрешимо уравнение x2 − 2 = 0 . Число 2 , которым мы привычно обозначаем один из корней этого уравнения, число – иррациональное. Это число «должно» бы выражать длину диагонали квадрата со стороной равной единице. Но среди известных чисел, с помощью которых можно выразить длину диагонали, такого числа не нашлось. Такие числа назвали иррациональными, т.е. невыразимыми. Это открытие было сделано во времена Пифагора (580–500 г. до н.э.). Позднее, примерно через 1000 лет, латинские слова рациональный и
иррациональный |
стали связывать со |
словом |
рацио – разум. В |
средневековой математической культуре |
возник |
новый термин вместо |
«иррациональный» – surdus ( глухой или немой), т.е. такое число, когда немой его не может высказать другому, а второй (глухой) не может выслушать первого. Сопротивление «разума» исчезло, когда стали интерпретировать иррациональные числа бесконечными десятичными непериодическими дробями.
Комплексные числа, о которых пойдет речь, возникли из необходимости извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Определим «новое» число –« мнимую единицу» i , квадрат которого равен −1, т.е. i 2= −1. Расширим множество действительных чисел, вводя числа
вида z = x + iy , |
которые будем |
называть комплексными. |
Число |
|
x = Re z = Re(x + iy) |
называют |
действительной |
(лат. |
realis– |
действительный) частью комплексного числа, а число y = Im z = Im(x + iy) его мнимой (лат. imaginarius – мнимый) частью.
31.2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Комплексные числа удобно изображать точками плоскости xOy , с
212
декартовой системой координат, которую в этом случае называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называют действительной осью – ей отвечают действительные числа z = x , а ось ординат – мнимой осью. Числа z = iy , лежащие на мнимой оси, называют
чисто мнимыми.
Два комплексных числа |
z1 = x1 + iy1 |
и z2 = x2 + iy2 равны |
тогда и |
||||||||||
только тогда, когда x1 = x2 |
и y1 = y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Сопряжённым к данному |
комплексному числу z = x + iy |
назовем |
|||||||||||
число |
|
= x − iy , |
которое обычно помечается чертой сверху. Сопряжённые |
||||||||||
z |
|||||||||||||
комплексные числа отличаются знаком мнимой части. Если |
|
|
= x − iy , то |
||||||||||
|
z |
||||||||||||
z = x + iy . |
Сопряжённые |
числа |
симметричны |
относительно |
|||||||||
действительной оси (см. рис. 31.1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z1 = x1 + iy1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
z2 = x2 |
+ iy2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 = x2 − iy2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z1 = x1 − iy1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 31.1 |
|
|
|
|
|
|
||
31.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Наряду с |
|||||||||||||
алгебраической |
формой |
комплексного |
числа z = x + iy |
|
введем его |
тригонометрическую форму. Будем интерпретировать комплексное
число z = x + iy |
как радиус-вектор точки ( x, y) . Модулем r комплексного |
|||
|
|
называют длину этого вектора r =| z |= |
|
(см. рис. |
числа |
z = x + iy |
x2 + y2 |
||
31.2) |
. Модуль – |
это расстояние от начала координат до точки z = ( x, y) . |
Угол ϕ между положительным направлением оси Ox и радиусвектором z называется аргументом комплексного числа. Поскольку этот угол определяется с точностью до числа, кратного 2π, то выделим его
главную ветвь 0 ≤ argz < 2π . |
Значение ϕ = arg z определяется как решение |
|||||||||
системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
y |
|
|||||
cosϕ = |
|
|
|
|
; sin ϕ = |
|
|
|
; 0 |
≤ ϕ < 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
+ y2 |
x2 + y2 |
|
213
z = x + iy |
ϕ = |
5 |
π |
|
|||
−1 |
4 |
|
r |
y |
|
ϕ |
||
−i |
||
|
||
x |
z = −1 − i |
Рис. 31.2
От алгебраической формы комплексного числа легко перейти к его тригонометрической форме
z = x + i × y = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) .
Пример. Представить число z = −1 − i в тригонометрической форме.
Модуль r = −1− i = (−1)2 + (−1)2 = 2 . Аргумент находим, выбирая из решений уравнений
cosϕ = |
− |
1 |
|
= − |
|
|
2 |
|
; |
sin ϕ = |
− |
1 |
|
= − |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то, которое попадает в промежуток |
0 ≤ ϕ < 2π . |
|
|
Это угол |
ϕ = |
5 |
π = 2250 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(см. рис. 31.2). Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z = −1 − i = |
|
|
|
(cos |
5 |
π + i sin |
5 |
π) . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31.4. Операции над комплексными числами. Начнем со сложения. |
|||||||||||||||||||||||||||
Суммой (разностью) двух комплексных чисел |
|
|
z1 = x1 + iy1 |
и z2 = x2 + iy2 |
|||||||||||||||||||||||
называется комплексное число z = z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ) |
|
|
|
y
(x1 + x2 , y1 + y2 )
( x2 , y2 )
(x1 , y1 )
x
Рис. 31.3
Заметим, что это соответствует правилу сложения векторов (см. рис. 31.3).
214
Произведением комплексных чисел называется число
(x1 + iy1 ) × (x2 + iy2 ) = (x1x2 - y1y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) .
Найдём произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме
z1 × z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) × r2 (cosϕ2 + i sin ϕ2 ) =
= r1 × r2 (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2 + i(sin j1 cos j2 + cos j1 sin j2 )) =
= r1r2 (cos( j1 + j2 ) + i(sin(j1 + j2 )) .
Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули нужно перемножить, а аргументы сложить.
Геометрический смысл умножения на комплексное число
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
состоит в том, что происходит «растяжение» плоскости с коэффициентом r и поворот на угол ϕ . Благодаря этим свойствам комплексных чисел с их помощью удаётся решать задачи теории упругости, связанные с деформацией твёрдых тел, а также изучать движение жидкостей и газов.
Пример. Найти произведение чисел z |
= 2(cos(30O + i sin 30O ) и |
1 |
|
z2 = 2(cos(120O + i sin120O ) .Умножение в тригонометрической форме даёт
z z |
2 |
= 4(cos(1500 |
+ i sin1500 ) = 4(− |
3 + i 1 ) = −2 3 + 2i . |
||||
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= −2 3 + 2i |
|
|
|
|
||
|
|
z = −1 + i 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
30 |
|||
|
|
150 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= |
3 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
180 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Рис. 31.4 |
|
|
|
|
В результате умножения вектора |
z1 на вектор |
z2 длина вектора z1 |
увеличилась в два раза и он «повернулся» на угол 120O (см. рис. 31.4).
215
ис. 5.
Рис. 31.5
Определим операцию возведения в степень комплексного числа.
По правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме для всякого натурального числа n имеем
zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) .
В частном случае, когда модуль числа равен единице, получается формула, носящая имя английского математика А. Муавра (1667-1754)
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ .
Эта формула служит источником для получения многих замечательных соотношений, связывающих тригонометрические функции. Например, при n = 2 имеем равенство
cos2ϕ + 2i sin ϕcos ϕ − sin2ϕ = cos 2ϕ + i sin 2ϕ .
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем известные формулы для синуса и косинуса двойного аргумента
cos 2ϕ = cos2ϕ − sin2 ϕ , sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ .
Лекция 32. Решение алгебраических уравнений
32.1. Извлечение корня из комплексного числа. Число z называется корнем n -ой степени из комплексного числа a , если z n = a .
Эта операция – обратная возведению комплексного числа в целую
217
положительную степень. Во множестве вещественных (действительных)
чисел эта |
задача равносильна задаче |
нахождения |
корней уравнения |
||||||
xn − a = 0 и мы решали её, раскладывая многочлен xn |
− a |
на множители. |
|||||||
Иногда это удавалось. Например, уравнение |
x2 − 4 = 0 |
даёт два корня |
|||||||
x |
= ± 2 , а уравнение x2 |
+ 1 = 0 корней не имеет. |
|
|
|
||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
пусть дано |
комплексное |
число |
a =| a | (cos α + i sin α) и |
||||
уравнение |
z n = a . |
Будем искать |
корни |
этого |
уравнения |
среди |
|||
комплексных чисел, |
выраженных |
в |
тригонометрической |
форме |
|||||
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) , r = ? , ϕ = ? В этой форме уравнение примет вид |
|
||||||||
|
|
rn (cos ϕ + i sin ϕ)n |
=| a | (cos α + i sin α) |
|
|
или
rn (cos nϕ + i sin nϕ) =| a | (cos α + i sin α) .
Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2π, т.е.
rn =| a |, nϕ = α + 2πk , k = 0, ± 1, ± 2,K.
Поэтому все корни имеют один и тот же модуль r = n | a | , а аргументы
этих корней определяются по формуле
ϕ = α + 2π k , k = 0, ± 1, ± 2,K. n n
Убедимся, что число корней конечно и равно показателю n степени уравнения. Действительно, представляя искомые корни в тригонометрической форме
|
|
|
|
α |
|
2π |
α |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
zk |
= n | a | cos( |
|
+ |
|
k ) + i sin( |
+ |
|
k ) |
, |
|||
n |
n |
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
видим, что в силу периодичности |
тригонометрических |
функций |
|||||||||||
достаточно ограничиться |
значениями |
k = 0, ± 1, ± 2,K, n − 1. |
Если |
k |
|||||||||
целое отрицательное, то мы не получим новых корней, так как |
|
|
|||||||||||
|
|
|
z− k = zn−k , k = 1, 2,K, n − 1. |
|
|
|
|||||||
В этом легко убедиться, прибавив |
2π к значению аргумента корня |
z−k , |
|||||||||||
что не меняет значений синуса и косинуса. Например, |
|
|
|
||||||||||
|
α |
|
2π |
|
|
α |
|
2π |
|
|
|
||
cos ϕ− k = cos |
|
+ |
|
(−k ) + 2π |
= cos |
|
+ |
|
(n |
− k ) = cos ϕn−k . |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
218
Итак, мы получили n корней n -й степени из комплексного числа. Это –
комплексные |
числа, модули |
которых равны r = n |
| a | |
, а |
аргументы |
||
определяются |
формулой |
ϕ = α + |
2π |
k , k = 0, 1, 2, K, n − 1. |
Особенно |
||
|
|||||||
|
|
n n |
|
наглядна их геометрическая интерпретация: |
все корни расположены на |
|||||||||
окружности, |
радиус которой |
r = n |
| a | , и угол между соседними корнями |
|||||||
равен 2π . |
Например, |
уравнение |
z3 + 8 = 0 |
имеет |
три |
корня, |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенных на окружности радиуса |
r = 3 | -8 | = 3 8 = 2 . Поскольку |
|||||||||
arg(−8) = π , то аргументы корней |
соответственно равны |
ϕ |
k |
= π |
+ 2π k , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
k = 0, 1, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1+ i |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1.5 |
z0 |
|
|
|
||
|
150 |
|
|
1 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 = −2 180 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
210 |
|
|
|
|
330 |
|
|
|
|
|
|
240 |
|
|
300 z3 =1- i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 32.1 |
|
|
|
|
|
|
|
В области действительных чисел символ |
(×) был «закреплён» за |
положительным корнем из положительного числа. Если расширить его применение для изображения корня из комплексного числа, то он потеряет однозначность. Например,
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−1 = ±i , 3 −8 = |
± i |
|
. |
|||
|
||||||
|
|
|
1 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
32.2.Квадратное уравнение. Рассмотрим квадратное уравнение
ax2 + bx + c = 0 , коэффициенты |
|
которого действительные |
числа. |
||||
Формально написанная формула для вычисления его корней |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
-b ± |
|
b2 - 4ac |
(32.1) |
||
|
|
|
|
|
|||
1,2 |
|
|
2a |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
219 |
|
|
|