9698

во множестве действительных чисел не имеет смысла, если подкоренное

отрицательное число. Его тригонометрическая форма −d = d (cosπ + i sin π) . Поэтому

Следовательно, если дискриминант уравнения отрицателен, то

b2 - 4ac = -(4ac - b2 ) = ±i| b2 - 4ac | .

Формула вычисления корней квадратного уравнения принимает вид

x2,3 =1 ± 1 - 4 =1 ± -3 =1 ± i3 .

Геометрическая интерпретация корней данного уравнения дана на рис. 32.1.

220

32.3. Разложение многочлена на множители. Рассмотрим многочлен степени n

попытки получить формулы для вычисления корней уравнений Pn (z) = 0 степени n ³ 3. В 1545 г. итальянский математик, философ и врач Д. Кардано (1501-1576) опубликовал формулы решения кубического уравнения. Возник спор о приоритете с другим итальянским математиком Николло Тарталья (1499-1557). Ученик Кардано Л.Феррари (1522-1565) нашёл способ решения уравнений четвёртой степенипутём сведения к решению кубического уравнения. Норвежский математик Нильс Абель (1802-1829) доказал, что алгебраические уравнения степени n > 4 неразрешимы в радикалах. Это надо понимать в том смысле, что корни уравненияне выражаются через его коэффициенты ak с помощью конечного числаопераций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Важный результат о существовании корней алгебраического уравнения носит название основной теоремы алгебры. Эта теорема гласит, что всякий многочлен Pn (z) степени n ³1 имеет по крайней один комплексный корень. Эта теорема впервые (не вполне строго) была доказана французским учёным Ж. Даламбером (1717-1783).Строгое доказательство дал Карл Гаусс (1777-1855) в 1799 году. Основная теорема алгебры даёт возможность представления многочлена в виде произведения множителей, содержащих его корни

Pn (z) = a0 (z − z1 )(z − z2 )L(z − zn ) ,

откуда следует, что всякое алгебраическое уравнение имеет ровно n корней.

Некоторые из корней могут совпадать. Их называют кратными в отличие от простых, т.е. неповторяющихся корней. Кратность корня – это число его повторений в разложении многочлена на множители. С учётом кратности корней получим разложение многочлена

кратности, причём r1 + K + rk = n . Указанные разложения справедливы для

221

многочленов, как с вещественными, так и с комплексными коэффициентами.

Отметим без доказательства, что если многочлен имеет вещественные

Объединяя в разложении многочлена такие пары, получаем

(z − z)(z − z ) = (z − α − iβ)(z − α + iβ) = z2 − 2αz + α2 + β2 = z2 + pz + q .

Таким образом, многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные множители с вещественными корнями и квадратичные множители с парой комплексно сопряжённых корней. Переменную в случае многочлена с вещественными коэффициентами будем обозначать буквой x . Итак, многочлен с вещественными коэффициентами имеет разложение

Разложение многочлена на множители связано с задачей разложения правильной рациональной дроби

x2 + px + q не имеет действительных корней. Оказывается, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Этот алгебраический факт мы примем без доказательства.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе ( m < n ). В противном случае ( m ³ n ) рациональная дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробьможно представить в виде суммы многочлена степени m − n (целая часть) и правильной рациональной дроби, т.е.

222

числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Это деление осуществим «уголком», причем делим до тех пор, пока показатель степени x в остатке не окажется меньше показателя степени x делителя.

Вид разложения дроби (32.3) определяется корнями многочлена Pn ( x) . Если знаменатель Pn ( x) имеет только действительные простые корни, то

ki ,то в разложении правильной дроби на простейшие этому корню

x2 + px + q , не имеющий действительных корней, то при разложении на простейшие дроби этому множителю соответствует дробь вида

Mx + N

x2 + px + q

.

Если знаменатель дроби имеет кратные комплексные корни, то множителю (x2 + px + q)l с комплексно сопряженными корнями соответствуют l дробей:

Лекция 33. Определённый интеграл

223

этой криволинейной трапеции разобьём промежуток [ a, b ] произвольным образом на n частей (см. рис. 33.2)

y = f ( x)

k=1

Сувеличением n точность этого приближения будет возрастать при

условии, что длины всех отрезков xk будут уменьшаться. Назовем площадью криволинейной трапеции предел последовательности Sn , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек.

33.2. Понятие определённого интеграла. Во всех приведенных выше задачах мы осуществляли следующую процедуру: брали некоторую функцию f ( x) , разбивали интервал её определения на n частей, в каждой части выбирали некоторую точку pk , составляли так называемую интегральную сумму (33.1) и, наконец, находили предел последовательности этих сумм при n → ∞ , когда длина наибольшего из отрезков дробления стремится к нулю. Получающийся при этом предел носит название определенного интеграла.

если он существует и не зависит ни от способа разбиения промежутка [ a, b ] , ни от выбора точек pk .

Ценность этого математического понятия состоит в том, что функцию f ( x) можно «наполнять» разным содержанием: это может быть функция, определяющая границу криволинейной трапеции, и тогда определенный интеграл выражает площадь трапеции, или это может быть функция, определяющая линейную плотность неоднородного стержня, и тогда определенный интеграл выражает массу стержня.

Для существования определенного интеграла функция f ( x) должна обладать некоторыми свойствами. Например, она должна быть ограниченной на [ a, b ] . В противном случае интегральную сумму за счёт выбора точек pk можно сделать как угодно большой. Оказывается, что

достаточным условием существования определённого интеграла служит непрерывность f ( x) на [ a, b ] .

Теорема. Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b ] , то определенный интеграл существует.

Примем эту теорему без доказательства.

33.3. Основные свойства определённого интеграла. Обозначение определённого интеграла было введено Лейбницем. Знак интеграла – это стилизация первой буквы латинского слова summa.

Если подынтегральная функция отрицательна на всем промежутке интегрирования или на его части, то соответствующий множитель, входящий в интегральную сумму будет отрицательным. Если интеграл интерпретировать как площадь, то части кривой, расположенной под осью абсцисс будем приписывать отрицательную площадь (см. рис. 33.3).

a

В качестве определения полагаем также ∫ f (x)dx = 0 .

a

226

Укажем основные свойства определённого интеграла, легко получаемые из его определения:

Последнее свойство проиллюстрируем рисунком (см. рис. 33.4).

y

Иногда важно не столько найти точное значение интеграла, сколько получить его оценку. Указанное неравенство геометрически соответствует тому факту, что существует прямоугольник весь расположенный внутри криволинейной трапеции и прямоугольник – содержащий эту фигуру.

Среднее значение функции. Если даны n чисел a1, a2 , K, an , то их средним (средним арифметическим) называют число

неоднородного тела (например, средняя плотность Земли примерно равна

понимают отношение интеграла функции по этому отрезку к длине этого отрезка. Геометрический смысл среднего значения функции становится ясным, если его определение записать в виде

b

fср. (b − a) = ∫ f (x)dx

a

Поскольку интеграл справа выражает площадь криволинейной трапеции, то левую часть равенства можно трактовать как площадь прямоугольника. Итак, среднее значение функции равно высоте прямоугольника, в основании которого лежит отрезок [ a, b ] , равновеликого по площади криволинейной трапеции (см. рис. 33.5).

y = f ( x)

Особенно важно, что в силу непрерывности функции на отрезке [ a, b ] найдётся такая точка P0 , что fср. = f (P0 ) . Это даёт возможность выразить

значение интеграла через длину промежутка интегрирования и значение подынтегральной функции в некоторой (правда неопределённой) точке этого промежутка.

Этот результат называют теоремой о среднем в интегральном исчислении.

228

33.4.Существование первообразной функции. В предыдущей

лекции мы отметили, что интеграл непрерывной на [ a, b ] функции существует. Наша цель – связать понятия определённого и неопределённого интегралов и, тем самым, показать, как вычисляется определенный интеграл без вычисления интегральных сумм.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

x

F ( x) = ∫ f (t )d t ,

a

где подынтегральная функция f ( x) непрерывна в промежутке [ a, b ] . Напомним, что переменная интегрирования – « немая», т.е. может быть обозначена любой буквой. Написанный нами интеграл – это некоторая функция F ( x) верхнего предела x , и её геометрический смысл ясен из следующего рисунка:

Рис. 33.6

Применяя теорему о среднем значении функции, запишем приращение

в виде

x+Δx

DF = ∫ f (t)d t = f (P0 (Dx)) × Dx ,

x

производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела

229