9698
.pdfТогда нормальные векторы в |
|
этой |
точке |
к кривой |
g ( x, y) = 0 и к |
||||||||
соответствующей линии уровня |
f (x, y) = C* |
|
|
коллинеарны. Эти векторы |
|||||||||
являются градиентами функций |
f |
и g |
в точке касания: |
|
|||||||||
∂ f ( x0 ,y0 ) |
|
∂ f ( x0 , y0 ) |
|
|
|
|
′ |
′ |
|||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂x |
∂ y |
|
|
|
|
= { fx ; |
fy |
} |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ g (x0 ,y0 ) ; |
∂ g (x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= {g′x ; g′y} |
||||||||||||
|
∂x |
|
∂ y |
|
|
|
|
f y′ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|||
Из условия коллинеарности этих векторов |
|
x |
|
= |
|
|
= −λ |
|
|
||||
|
′ |
|
′ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
g x |
|
|
|
g y |
|
|
||
следуют равенства |
|
|
′ + λ g′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
(39.2) |
||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f y′ + λ g′y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, условия (39.2) выражают необходимые условия условного экстремума. Образовав функцию Лагранжа
F ( x, y, λ) = f ( x, y) + λ g ( x, y) ,
убеждаемся, что условия (39.2) совпадают с необходимыми условиями экстремума этой функции.
Пример. Найти экстремумы функции f (x, y) = x2 + y2 при условии,
что её аргументы связаны соотношением 5x2 − 6xy + 5 y2 − 32 = 0 . Образуем функцию Лагранжа
F (x, y,λ) = x2 + y2 + λ( 5x2 − 6xy + 5y2 − 32) .
Приравнивая к нулю её частные производные, получаем следующую систему для нахождения координат стационарных точек
|
x + λ(5x − 3y) = 0 |
|
||||
|
y + λ(−3x + 5 y) = 0 |
|
||||
|
|
|||||
|
5x |
2 |
− 6xy + 5 y |
2 |
− 32 |
= 0 |
|
|
|
Исключаем из первых двух уравнений параметр λ , разделив одно из них на другое
k = |
−3 + 5k |
, |
k = |
y0 |
. |
|
|
||||
|
5 − 3k |
|
x0 |
||
270 |
|
|
|
|
Откуда k = ±1 или y0 = ± x0 . Третье уравнение системы даёт возможность найти конкретные значения координат стационарных точек.
|
y0 = x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае |
находим точки |
( 2 |
2; 2 2; − 0,5 ), ( − 2 |
2; − 2 2; − 0,5 ) . |
|||||||||||||||
А если y0 = −x0 , |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то получаем точки |
( |
|
2; |
2; −1 8 ) , (− |
2; |
2; −1 8 ) . |
|||||||||||||
Мы |
не касаемся вопроса |
о |
достаточных условиях экстремума в |
общем случае. Его исследование завело бы нас слишком далеко. Как и в случае безусловного экстремума, в практических приложениях обыкновенно заранее известно, что экстремум существует и каков его характер. Так, например, если на нашу задачу посмотреть с геометрической точки зрения (см. рис. 39.3), то мы находим на эллипсе
5x2 − 6xy + 5 y2 − 32 = 0
точки, наиболее удалённые от начала координат и наиболее близкие к нему, т.к. функция
f (x, y) = x2 + y2
это квадрат искомого расстояния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B (−2 |
|
|
|
|
|||||||
Очевидно, что в точках |
A ( 2 2; 2 |
2 ) |
|
и |
2; − 2 2 ) |
|||||||||||||||||||
достигается максимум fmax = OA = OB = 4 , и отрезок |
AB = 8 |
это большая |
||||||||||||||||||||||
ось эллипса. В точках C ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2; − 2 ) и D (− 2; |
2 ) |
расстояние от начала |
||||||||||||||||||||||
координат до точек эллипса минимально fmin = OC = OD = 2 , |
и |
|
отрезок |
|||||||||||||||||||||
CD = 4 является малой осью эллипса. Более того, |
мы знаем направление |
|||||||||||||||||||||||
осей эллипса. Большая ось эллипса образует угол α = 450 |
с осью абсцисс. |
|||||||||||||||||||||||
Таким образом, в системе координат |
x1Oy1 уравнение эллипса имеет вид |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
+ |
1 |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая задачу на условный экстремум, мы «попутно» привели
уравнение эллипса 5x2 − 6xy + 5 y2 − 32 = 0 |
к каноническому виду. |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
|
x1 |
|
|
|
|
|
A |
||
|
y1 |
|
|
|
||
D |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
Рис. 39.3
271
|
Учебно-методическое пособие по |
|
Наименование |
подготовке к лекциям, практическим занятиям по дисциплине |
|
|
||
содержимого |
«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 |
|
Строительство, профиль Строительство автомобильных дорог, |
||
|
||
|
аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры |
|
|
|
|
|
64 лекции по математике |
|
Название |
Книга 1 ( лекции 1–39 ) |
|
|
|
|
|
Важдаев Виктор Петрович |
|
Ф.И.О. автора |
Коган Марк Михайлович |
|
(полностью) |
Лиогонький Марк Израилевич |
|
Протасова Людмила Анатольевна |
||
|
||
|
|
|
Факультет (институт) |
Инженерно-строительный факультет |
|
|
|
|
Кафедра |
математики |
|
|
|
|
Направление подготовки |
|
|
(шифр и наименование) |
08.03.01 – Строительство |
|
|
Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов |
|
Направленность (профиль) |
транспортной инфраструктуры |
|
|
|
|
Дисциплина |
математика |