Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4635 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

9698

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.08 Mб
Скачать
☆

 

 

R

 

 

 

 

R R

> =

 

a2 + a

 

 

+ a2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

= < a, a

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

>

 

axbx + ayby + azbz

 

 

 

 

 

 

R

 

< a,b

 

 

 

 

 

R

a

=

 

R

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

Прb

 

| b |

 

 

bx2 + by2 + bz2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

axbx + ayby + azbz

 

 

cos j

=

< a,b >

=

 

 

 

 

.

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 + ay2 + az2

 

 

 

bx2 + by2 + bz2

 

 

| a |

×| b |

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, условие ортогональности двух векторов выражается через их координаты следующим образом:

axbx + ayby + azb = 0 .

Продемонстрируем, как в декартовой системе координат решаются некоторые задачи.

7.3. Деление отрезка в заданном отношении: найти координаты точки

C(x, y, z), которая делит отрезок, соединяющий точки

A(x1, y1, z1)

и B(x2 , y2 , z2 )

(внутренним или внешним образом), в отношении

λ (см. рис. 7.4).

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для её решения отметим, что

векторы AC = {x − x1, y − y1,

z − z1} и

CB = {x2 − x,

y2 − y, z2 − z} коллинеарны, то есть AC = λ CB . Запишем это

векторное равенство в координатах:

 

 

 

 

 

 

 

x − x1 = λ (x2 − x) ,

y − y1 = λ ( y2 − y) ,

z − z1 = λ (z2 − z) ,

 

 

откуда найдем координаты точки

C

 

 

 

 

 

 

 

50

x =

x1 + λ x2

, y =

y1 + λy2

, z =

z1 + λz2

.

1 + λ

1 + λ

 

 

 

 

1 + λ

Покажем в заключение этого раздела, как векторная алгебра объясняет действие так называемого уголкового отражателя, представляющего собой комбинацию из трёх взаимно перпендикулярных зеркал. Многочисленные применения этого прибора связаны с его способностью менять направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет на него падает. Пусть луч света сначала попадает, например, на плоскость xOy и направляющий

вектор этого

луча

a = {ax , ay , az }. Спрашивается,

каков

будет

направляющий

вектор

a1 для отражённого луча? Оба

эти

вектора

одинаковой длины и расположены в плоскости, перпендикулярной к плоскости xOy . Очевидно, что у направляющего вектора отражённого луча третья проекция сменит знак, а первые две проекции останутся прежними, т.е. a1 = {ax , ay , −az } (см. рис. 7.5).

z

y

 

 

a

az

 

a1

 

 

−az

 

O

 

 

 

 

x

 

Рис. 7.5

 

Таким образом, отразившись от трёх координатных плоскостей, луч света

будет иметь направление, противоположное

первоначальному

a3 = {−ax , −ay , −az } = −a .

 

51

Следующий рисунок иллюстрирует «работу» уголкового отражателя на конкретном примере.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

 

 

0

 

1

1

 

2

2

 

 

3

3

 

4

 

 

Рис. 7.6

Уголковые отражатели применяются для точного измерения расстояний, обеспечения безопасности движения транспорта и в военном деле.

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

8.1. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением

векторов a

и b

называется вектор

R

R

´ b ]

R

R

c

= [a

или просто c

= a ´ b такой,

что:

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

^ b

 

 

 

 

 

c a и c

 

R

R

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правоориентированная

упорядоченная тройка векторов {a,b , c}

·

 

R

 

=

 

 

R

 

×

 

R

 

×sin j, где ϕ –

угол между векторами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упорядоченная тройка векторов называется правоориентированной или правой, если после приведения их к общему началу с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае – тройка называется левоориентированной или левой. При перестановке местами любых двух векторов или при замене одного из векторов на противоположный тройка меняет ориентацию.

52

c

c

b

a

a

b

Рис. 8.1

С этим расположением векторов a , b , c связаны правоориентированная и левоориентированная декартовы прямоугольные системы координат.

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

j

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.2

 

Обратим внимание на то, что значение модуля векторного

произведения

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

=

R

×

 

 

 

× sin j

 

 

 

 

 

c

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах

b

ϕ

a

Рис. 8.3

В механике с помощью этой операции вычисляется момент силы. Пусть, например, O – одна неподвижная точка некоторого тела, к другой

53

точке A которого приложена сила F . Момент этой силы относительно неподвижной точки выражается векторным произведением M = OA ´ F , а его модуль равен M =| F | ×| OA | sin j =| F |d – « произведению силы | F |

на плечо d =| OA |sin j».

M

 

* +

 

 

 

 

 

Мест

d

+

 

 

 

 

d

 

 

Рис. 8.4

Рассмотрим основные свойства операции векторного произведения. Во-первых, эта операция позволяет выяснить коллинеарны или нет два

заданных вектора. А именно, векторы a и b

коллинеарны тогда и только

тогда, когда их векторное произведение равно нулю

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a || b

Û a ´ b = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, это следует из равенства

R

 

R

 

= 0 .

 

 

|a ´ b |

=| a | × | b | sin 0

 

 

Что произойдет, если в векторном

произведении

R

R

´ b

 

c

= a

переставить местами

сомножители, т.е. что

собой

представляет

вектор

 

R

 

что вектор d перпендикулярен векторам

a

и

b ,

d = b ´ a ? Очевидно,

его модуль равен модулю вектора c , но тройка

 

R R

стала левой, а,

{b , a, c}

значит, тройка

R

R

будет правой. Таким

 

 

 

 

R

или

{b , a, -c}

образом, d = -c

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a

× b ] = −[b × a ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

b

O

d

a

 

 

Рис. 8.5

54

Умножение одного из сомножителей векторного произведения на число приводит к умножению результата на это число, т.е.

R

R

R

× b ] .

[ ka

× b ] = [ a

× kb ] = k [a

В выражениях, содержащих векторное произведение и сложение, скобки «раскрываются» так же, как и при обычном умножении и сложении, т.е.

R

R

R

R

R

] .

[(a

+ b) × c

] = [a

× c

] + [b × c

Как найти векторное произведение, если его сомножители заданы своими координатами? Пусть векторы a и b в ортонормированном базисе векторов {i , j , k }, образующих правую тройку, имеют следующее разложение:

R

= axi + ay j + az k , b = bxi + by j + bz k .

a

Вначале приведем таблицу векторного умножения базисных векторов, где в левом столбце находится первый сомножитель, в верхней строке – второй, а на пересечении строки и столбца соответствующее произведение.

Таблица 1. Вычисление векторного произведения координатных ортов в

правоориентированной системе координат

×

i

 

j

k

 

 

 

 

 

i

0

k

 

- j

 

 

 

 

 

j

- k

0

 

i

 

 

 

 

 

k

j

- i

 

0

 

 

 

 

 

Теперь, используя эту таблицу и приведенные выше правила раскрытия скобок, получим:

55

R

× b ] = [ ( ax i

+ a y j + az k ) × ( bx i + by j + bz k )] =

[a

= axbx [i × i ] + aybx [ j × i ] + azbx [k × i ] + +axby [i × j ] + ayby [ j × j ] + azby [k × j ] +

+axbz [i × k ] + aybz [ j × k ] + azbz [k × k ] =

=i (aybz − azby ) − j (axbz − azbx ) + k (axby − aybx ) =

R

ay az

−

R

a

x

a

z

R

ax ay

= i

b

 

b

j

b

b

+ k

b

b

 

 

y

 

 

x

z

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы запомнить, как вычисляются координаты векторного произведения, заметим, что

 

 

R

R

R

 

 

 

 

 

R

R

i

j

k

 

 

ax

ay

az

 

 

[a

× b] =

 

,

 

 

bx

by

bz

 

 

где в правой части равенства стоит символический определитель, раскрывая который по элементам первой строки, получим приведенное выше выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Такое представление векторного произведения позволяет обнаружить те его свойства, о которых говорилось выше. Например, при смене порядка сомножителей в определителе поменяются местами две строки, что приводит к смене знака определителя, а, значит, к смене знака векторного произведения. Любознательный читатель может таким образом проверить справедливость и других свойств векторного произведения.

Полученное выражение векторного произведения через координаты сомножителей дает возможность вычислить площадь треугольника по координатам его вершин

b

a

A( x1 , y1 , z1 )

C ( x3 , y3 , z3 )

B( x2 , y2 , z2 )

Рис. 8.6

Образуя какую-нибудь пару векторов, например,

R

= AB = { x2

− x1 , y2 − y1, z2 − z1} = { a1, a2 , a3} и

a

b = AC = { x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1} = { b1 , b2 , b3}

56

найдём

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

R

R

 

 

1

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

| a

× b

 

|=

 

|

a a a

| .

2

2

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

b2

b3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2. Смешанным произведением векторов

a , b , c называется

число, равное

 

 

 

R

 

R

(8.1)

< a

× b,c > ,

 

R

´ b , а затем он умножается скалярно на

т.е. сначала находится вектор d = a

вектор c . Поэтому смешанное произведение иногда называют векторноскалярным произведением векторов. Отметим, что смешанное произведение выражается через скалярное и векторное произведения и не является какой-то «новой» операцией над векторами. Как мы сейчас увидим, знак смешанного произведения говорит о взаимной ориентации данных трех векторов (правую или левую тройку они образуют), а его модуль дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно, рассмотрим рисунки с правой и левой тройками векторов

c

 

 

 

 

 

 

 

d

c

 

 

θ

 

 

b

 

a

θ

b

a

 

 

d

Рис. 8.7

R R

Из рисунков видно, что в случае правой тройки {a,b , c} вектор образует с вектором c острый угол θ , а в случае левой тройки – тупой. С учетом того, что

R

R

R

| cos q ,

< a

´ b,c

> = | d | × | c

= R × d a b

этот угол

57

мы получим, что в первом случае знак смешанного произведения будет положительным, а во втором – отрицательным. Таким образом, знак смешанного произведения «говорит» о взаимной ориентации тройки векторов в пространстве.

А что означает равенство нулю смешанного произведения? Очевидно, что это будет тогда и только тогда, когда cos θ = 0 , т.е. θ = π / 2 и, следовательно, вектор c должен лежать в плоскости векторов a и b . Итак, обращение в нуль смешанного произведения эквивалентно компланарности данной тройки векторов.

- *

Рис. 8.8

Теперь, что касается модуля смешанного произведения. Рассмотрим рисунок

R

× b

 

a

c

 

 

θ h b

ϕ

 

 

 

a

 

 

 

Рис. 8.9

и запишем

 

 

 

R

R

R

R

|< a

´ b , c

>| = | a | × | b | × | sin j | × | c | × | cos q | = S h = V

где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c . Итак, смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю

равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

58

Нам осталось только научиться вычислять смешанное произведение векторов, заданных своими координатами. Пусть

 

 

R

=

{ax , ay , az } , b

= {bx ,by ,bz } , с = {cx ,cy ,cz }.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

R

=

i

 

 

 

 

j

 

 

k

 

R

 

 

ay

az

 

 

R

 

a

 

 

a

 

 

R

 

ax

ay

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

= a

× b

x

 

 

 

y

 

z

 

= i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− j

 

 

x

 

 

z

 

+ k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

by

bz

 

 

 

 

 

 

bx

 

bz

 

 

 

 

bx

by

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

 

 

 

by

 

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

 

 

 

R

 

a

 

 

a

 

−

 

R

 

a

 

a

 

 

 

R

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

R

> =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< d , c

> = < i

 

 

y

 

 

 

z

 

j

 

 

 

x

 

 

z

 

 

+ k

 

 

x

 

y

 

, cxi

+ cy j

+ cz k

 

 

 

 

 

 

 

 

by bz

 

 

 

 

 

bx bz

 

 

 

 

 

bx by

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= c

 

a2

a3

 

− c

 

a1

 

 

a3

 

+ c

 

a1

 

 

a2

 

=

 

ax

 

 

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b b b

 

 

 

 

 

 

 

1

b b

 

 

 

 

 

2

 

b b

 

 

3

 

b b

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

cx

 

 

cy

cz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, мы получили выражение смешанного произведения через координаты сомножителей

R

R R

> =

ax

ay

az

 

bx

by

bz

 

< a

× b,c

.

 

 

 

cx

cy

cz

 

Следовательно, объём параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c вычисляется по формуле

ax ay az V =| bx by bz | .

cx cy cz

Часто возникает задача вычисления объема пирамиды по координатам ее вершин. Сведем эту задачу к вычислению объема параллелепипеда. Для этого разделим параллелепипед диагональным сечением на две равновеликих призмы

c

b

a

59

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности