9698
.pdfx |
′ |
|
∫ |
|
= f (x) |
|
f (t)d t |
|
a |
x |
|
Другими словами: это означает, что интеграл с переменным верхним пределом интегрирования является первообразной для подынтегральной функции. Этот, казалось бы, частный факт имеет принципиальное значение. Во-первых, отсюда следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, а во-вторых, даже для «неберущихся» интегралов мы имеем теперь инструмент для её представления. Например, для
функции f ( x) = e− x2 среди элементарных функций нет первообразной. Теперь мы можем представить её первообразную через определённый интеграл
x
∫e−t2d t .
0
33.5. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла как предела интегральной суммы, т.е. по формуле (33.2), – довольно сложная задача. Оказывается, что ее можно легко решить, имея одну из первообразных подынтегральной функции. Этот факт выражается
основной формулой интегрального исчисления – |
формулой Ньютона – |
|||
Лейбница |
|
|
||
b |
|
|
||
∫ f (x)d x = F (x) |
|
ba = F (b) − F (a) , |
|
|
|
|
|||
|
|
|||
a |
|
|
||
в которой F ( x) означает одну из первообразных функции |
f ( x) . |
|||
Действительно, ранее мы выяснили, что интеграл с переменным |
||||
верхним пределом |
|
|
||
x |
|
|
||
Φ(x) = ∫ f (t)d t |
|
|
||
a |
|
|
||
является первообразной подынтегральной функции |
f ( x) , |
непрерывной в |
промежутке a ≤ x ≤ b . Пусть F ( x) любая другая первообразная f ( x) .
x
Поскольку Φ(x) = ∫ f (t)d t = F (x) + C и Φ (a) = 0 , то C = − F (a) . Поэтому
a
x
имеем ∫ f (t)d t = F (x) − F (a) . Полагая в последнем равенстве x = b ,
a
получаем
230
b
∫ f (t)d t = F (b) − F (a) .
a
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1. Интегрирование по частям и замена переменной. Пусть u ( x)
иv( x) – функции, непрерывные вместе со своими производными в
промежутке |
[ a, b ] . |
Тогда |
функция |
|
F ( x) = u(x) × v( x) является |
|||||
первообразной для своей производной |
|
|
|
|
||||||
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
′ |
||
|
|
F (x) = u (x) × v(x) + v (x) ×u(x) . |
||||||||
По формуле Ньютона – |
Лейбница имеем |
|
|
|
|
|||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(u′(x)v(x) + v′(x)u(x))d x = u(x)v(x) |
|
ba |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
′ |
|
|
|
b |
|
′ |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
∫u(x)v (x)d x = u(x)v(x) |
|
a |
|
− ∫v(x)u (x)d x . |
|||||
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
||
Учитывая, что |
′ |
|
и |
′ |
|
|
|
|
||
v (x)d x = d v |
u (x)d x = d u , полученную формулу |
|||||||||
запишем более компактно, помня, что u |
|
и v функции переменной x , |
||||||||
изменяющейся в промежутке [ a, b ] : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
∫udv = uv |
|
ba − ∫vdu . |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
Это и есть формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Как и в случае неопределённого интеграла, её целесообразно применять, если интеграл справа будет «проще», чем исходный интеграл.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
осью абсцисс и прямой x = e . Искомая площадь (см. рис. 34.1)
e
выражается интегралом S = ∫ ln x d x
1
y
y = ln x
1 |
x |
|
|
|
e |
|
231 |
Рис. 34.1
Интегрируем по частям u = ln x, du = 1 dx, dv = dx, v = x x
|
|
e |
1 |
|
|
|
S = x ln x |
|
1e − ∫ x |
d x = e − x |
|
1e = e − e + 1 = 1. |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
|
x |
|
||||
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
Формула Ньютона – Лейбница даёт возможность установить правило замены переменной в определённом интеграле. Пусть требуется вычислить интеграл
b
∫ f (x)d x ,
a
где функция f ( x) непрерывна в промежутке |
[ a, b ] . Пусть функция |
x = ϕ (t ) удовлетворяет следующим условиям: 1) |
ϕ (t) непрерывна вместе |
со своей производной ϕ′(t) в некотором промежутке [α,β]; 2) сложная
функция |
f (ϕ(t )) должна быть определена в этом промежутке (для этого |
||
достаточно, например, потребовать, чтобы ϕ (t) была монотонна); |
3) |
||
концам промежутка |
[α,β] соответствуют концы промежутка [ a, b ] , |
т.е. |
|
ϕ (α) = a, |
ϕ (β) = b или ϕ (α) = b , ϕ (β) = a (см. рис. 34.2). |
|
|
|
x |
x |
|
b |
x = ϕ(t) |
b |
|
|
|
|
|
|
|
a |
x = ϕ(t) |
a |
|
|
|
|
|
t |
t |
|
β |
β |
|
α |
α |
Рис. 34.2
При этих условиях имеют место формулы
b |
β |
′ |
|
∫ f (x)d x = ∫ |
|||
f (ϕ(t))ϕ (t)d t |
|||
a |
α |
|
(34.1)
232
|
b |
α |
|
′ |
|
|
|
∫ f (x)d x = ∫ |
|
|
|
||
|
f (ϕ(t))ϕ (t)d t |
|
||||
|
a |
β |
|
|
|
|
Приведём доказательство первой из них. |
Пусть F ( x) – |
одна из |
||||
первообразных |
функции f ( x) . Тогда F (ϕ(t)) – |
первообразная |
функции |
|||
′ |
|
|
|
|
|
|
f (ϕ(t))ϕ (t) . Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
′ |
|
|
|
Ft (ϕ(t)) = Fϕ (ϕ(t))ϕ |
(t) = f (ϕ(t))ϕ (t) . |
|
|||
Применяя формулу Ньютона – |
Лейбница |
к обоим интегралам в первом из |
||||
|
|
|
|
b |
|
|
равенств (34.1), |
получим, с одной стороны, ∫ f (x)d x = F (b) − F (a) , а с |
a
другой
β
∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)d t = F (ϕ(t) βα = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) = F (b) − F (a) .
α
Аналогично можно убедиться в справедливости второго равенства в (34.1). Следует заметить, что, в отличие от замены переменной в неопределённом интеграле, здесь нет необходимости возвращаться к «старой» переменной. Если вычислены правые из интегралов (34.1), то, тем самым, вычислены и левые интегралы. Излишне упоминать, что не каждая подстановка ведёт к упрощению: какую замену переменной
следует применять – это может подсказать лишь опыт.
Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом, заданным
уравнением |
x2 |
+ |
y2 |
= 1. Ясно, что достаточно вычислить площадь |
|||||
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
четвёртой части фигуры. Задача приводит к вычислению интеграла |
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
Sэл = 4b∫ |
1 − |
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыт вычисления неопределённых интегралов «подсказывает» замену
переменной |
x(t) = a sin t . |
Она удовлетворяет перечисленным выше |
||||
условиям: |
′ |
|
|
|
||
∙ |
|
|
|
|
||
x(t ) и x (t) = acost непрерывны в промежутке [0, π / 2] |
||||||
∙ |
x(0) = 0, |
x(π / 2) = a |
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
= |
|
= cos t определена в [0, π / 2] . |
функция |
|
1 − x2 (t) a2 |
1 − sin2 t |
Произведя эту замену, получаем
233
Переходя к пределу при n → ∞ , причём так, что длина максимального из
частичных отрезков λ = max(Δϕk ) стремится к нулю, получаем
k
S = lim |
1 |
n ρ2 |
(ξ |
|
)Δϕ |
|
= |
1 |
β |
ρ2 (ϕ)dϕ . |
|
|
|
|
∫ |
||||||
n→∞ 2 |
∑ |
|
k |
|
k |
2 |
|
|||
λ→0 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
Замечание. Если начало координат находится внутри области, |
||||||||||
ограниченной замкнутой кривой |
ρ = ρ(ϕ) , |
|
0 ≤ ϕ ≤ 2π , то площадь |
вычисляется по формуле
2π
S = 1 ∫ ρ2 (ϕ )dϕ .
2 0
Пример 1. Вычислить площадь круга, граница которого задана уравнением x2 + y2 = R2 . Ясно, что достаточно найти площадь четверти круга (см. рис. 34.4).
y
y = R2 − x2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 34.4 |
|
|
|
|
|
||||
Если вычисления проводить в декартовой системе координат, то |
||||||||||||||||||
получается «плохой» интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Skp = ∫ R2 − x2 dx . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдём к полярным координатам по формулам: x = ρ cos ϕ, |
y = ρ sin ϕ . |
|||||||||||||||||
Уравнение четвёртой |
|
части |
окружности |
|
|
|
x2 + y2 = R2 |
в полярных |
||||||||||
координатах примет вид |
ρ = R, |
0 ≤ ϕ ≤ π 2 . |
Поэтому |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
πR |
2 |
|
||||
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
Skp = |
|
∫ R2dϕ = |
|
R2ϕ |
|
|
= |
|
|
Skp = πR2. |
||||||
|
4 |
2 |
2 |
|
0 |
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную одним витком спирали Архимеда и полярной осью. Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущуюся по лучу,
235
исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса. В полярной системе координат её уравнение имеет вид ρ = aϕ , a > 0, a = const . Один виток спирали получается при повороте луча на угол ϕ = 2π . Искомая площадь выражается интегралом
|
1 |
2 π |
|
a |
2 |
× j |
3 |
|
2 π |
||
|
|
|
|||||||||
S = |
∫ |
(aj)2 dj = |
|
|
|
= |
4 |
a2p3. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
0 |
2 |
3 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ P
O
Рис. 34.5
34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми,
заданными параметрически. Интерпретируя определённый интеграл
площадью криволинейной трапеции, мы |
предполагали, что кривая |
y = f ( x) задана в явном виде. А как быть, |
если границы фигуры заданы |
параметрическими уравнениями? Заметим, что задание кривой в явном виде – это частный случай её параметрического задания, когда в качестве параметра избрана переменная x :
x = x |
|
|
a ≤ x ≤ b . |
y = |
f (x) |
В выборе параметра мы располагаем большой свободой. Например, при вычислении площади эллипса мы представляли его уравнение в параметрическом виде следующим образом:
x = a sin t |
0 ≤ t ≤ |
π |
. |
|
2 |
||
y = b cos t |
|
|
Таким образом, замена переменной в определённом интеграле – это, по сути, переход к другой параметризации кривой y = f ( x) . Поэтому, если часть кривой, площадь под которой нас интересует, задана параметрически, то применяется формула
236
|
b |
β |
′ |
|
|
|
x = x(t) |
α ≤ t ≤ β . |
|||
|
|
|
|
|
где |
||||||
|
S = ∫ y(x)dx = ∫ y(t)x (t)dt , |
|
|
||||||||
|
a |
α |
|
|
|
|
y = y(t) |
|
|
|
|
Пример 3. Найти площадь, ограниченную астроидой, заданной |
|||||||||||
уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a cos t |
0 ≤ t ≤ 2π |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = a sin3 t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Астроиду можно рассматривать как траекторию фиксированной точки |
|||||||||||
окружности, катящейся изнутри |
по окружности радиуса |
a |
и имеющей |
||||||||
радиус |
a / 4 (см. |
рис. 34.6). В силу |
симметрии |
фигуры, |
вычисляем |
||||||
четвёртую часть её площади |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 S = |
a |
0 |
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
∫ y(x)dx = |
∫ a sin3 t ×3acos2t(-sin t)dt = 3a2 ∫ sin2 t cos2t × sin2 tdt |
||||||||||
4 |
0 |
π 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=pi/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 X |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 34.6 |
|
|
|
|
|
|||
После применения формул понижения степени тригонометрических |
|||||||||||
функций получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
π 2 |
|
|
|
3 |
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
S = |
a2 |
∫ sin 2 2t (1 − cos2t)dt = |
a2 |
∫ sin 2 2t dt − |
a2 |
∫ sin2 2t cos 2tdt = |
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
π 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
π 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
π 2 |
3 |
|
|
π0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
a2 ∫ |
(1 - cos4t)dt - |
a2 ∫ sin2 2t d sin 2t = |
|
|
a2t |
|
- |
a2 sin 4t |
|
2 - |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
16 |
0 |
16 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
0 |
|
64 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
a2 sin3 2t |
|
π 2 = |
3 |
a2π |
S = |
3 |
πa2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
0 |
32 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
В предыдущей лекции мы применили определенный интеграл к вычислению площадей фигур. Здесь будут рассмотрены другие его приложения.
35.1. Вычисление объёма тела с известной площадью поперечного сечения. Пусть некоторое тело в направлении оси абсцисс находится в пределах отрезка [ a, b ] . Как обычно, разбиваем этот отрезок на n частей и через точки деления проводим плоскости P , перпендикулярные оси Ox . Эти плоскости рассекут тело на «дольки». На рисунке изображена одна из них.
S ( xk ) |
P |
S ( xk +1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
xk |
xk +1 |
|
b |
|
|||
xk |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предполагается, что для каждого значения |
x |
известна площадь |
сечения |
|||||||
S (x) . Предполагается, что это непрерывная |
функция. Объём |
каждой |
«дольки» можно приближённо вычислить как объём цилиндра с площадью основания S (xk ) и высотой xk . Поэтому объём тела приближённо равен сумме объёмов таких цилиндров
n
V ≈ ∑ S (xk ) xk
k =1
Точное значение объёма получим, увеличивая число n точек деления
отрезка [ a, b ] . При этом длина наибольшего из отрезков |
λ = max( xk ) |
||||
|
|
|
|
|
k |
должна стремиться к нулю, т.е. находим предел интегральной суммы |
|||||
|
n |
|
b |
|
|
V = lim |
∑S (xk ) |
xk = ∫ S (x)d x |
|
||
n→∞ |
|
|
|
|
|
λ→0 k =1 |
|
a |
|
||
Пример. Найти объём части кругового цилиндра |
x2 + y2 = R2 , |
||||
отсечённого плоскостями x = 0, |
z = 0, |
z = |
h |
y . |
|
|
|
||||
|
|
|
R |
|
|
|
238 |
|
|
|
|
z
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
h |
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 − x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
R2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Через фиксированную |
|
точку |
x [0, R] |
|
|
|
|
|
проводим |
|
плоскость, |
||||||||||||||||||
перпендикулярно |
оси |
|
|
Ox . Сечение тела представляет собой |
|||||||||||||||||||||||||
прямоугольный треугольник, площадь которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
S (x) = |
1 |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
= |
|
h |
(R2 − x2 ) . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
R2 − x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R2 − x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда объём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
V = ∫ S ( x)d x = |
|
∫(R2 − x2 )d x = |
|
|
(R2 x − |
|
|
) |
= |
hR2 . |
|||||||||||||||||||
|
2R |
2R |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
35.2. Вычисление объёмов тел вращения. Пусть криволинейная |
|||||||||||||||||||||||||||||
трапеция, ограниченная |
|
кривой |
y = f ( x) , |
|
|
|
|
a ≤ x ≤ b , |
|
вращается |
|||||||||||||||||||
относительно оси |
Ox . Найдём объём полученного тела вращения. |
y = f (x)
a |
b |
Рис. 35.3
Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого
значения x , а именно (сечение – круг): |
S (x) = π f 2 (x) , то |
b |
b |
Vx = ∫ S (x)d x = π∫ f 2 (x)d x . |
|
a |
a |
239