9698

( A1 x1 + B1 y1 + C1 z1 + D1 ) + λ ( A2 x1 + B2 y1 + C2 z1 + D2 ) = 0.

Рис. 14.7

Задача 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

0

Рис. 14.8

Эта задача также сводится к задаче об уравнении плоскости, проходящей через заданную точку M0 параллельно двум неколлинеарным

Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление

Лекция 15. Функция

Этот раздел математики изучает функциональные зависимости, которые в окружающем нас мире встречаются на каждом шагу:

100

температура как функция времени, давление как функция высоты и т.д. Так что же такое функция в математическом смысле?

всех действительных чисел, а область определения и область значения –

функция называется последовательностью и обозначается символом {an}, который указывает элемент an , соответствующий n . Например, функция факториал an = n! = 1× 2 ×K× (n -1) × n каждому натуральному числу n ставит в соответствие число, равное произведению всех натуральных чисел от 1 до n .

Последовательность кроме задания формулой своего общего члена an может быть задана иначе. Например, указывается несколько её первых членов, а остальные определяются этими заданными членами по тому или иному правилу. Так определяются знаменитые числа Фибоначчи (названные в честь итальянского математика Леонардо Пизанского (1180– 1240), которого называли также Фибоначчи (Fibonacci – сокращённое filius Bonacci, т.е. сын Боначчи)

101

1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21,K

следующий определяется как сумма двух предыдущих, т.е.

an+ 2 = an+1 + an .

Функция может быть задана аналитически с помощью одной или нескольких формул, например,

Также может быть указан алгоритм, по которому для данного элемента x находится соответствующий ему элемент y (например, E(x) –

«целая часть числа x »: её значения легко находятся E(2) = 2 , E(2) = 1, E(π) = 3, хотя никакой формулой не задаются), или соответствие задано в виде таблицы (например, меню в ресторане), или, наконец, функция может быть задана графически. Под графиком функции в декартовой системе координат понимается множество точек (x, f (x)) .

15.2.Обратная функция. Для данной функции введем понятие

f

x

y

f −1

Рис. 15.2

Интуитивно ясно, что не любые функции имеют обратные, а только те, у которых различным элементам x1 ¹ x2 соответствуют различные элементы f (x1 ) ¹ f (x2 ) , т.е. не должно быть ситуации, показанной на рис. 15.1. Если функция не имеет обратной функции во всей области определения, то она может иметь обратную функцию на некотором подмножестве области определения. Так, функция y = x2 не имеет

102

Рис.15.4

В этом случае график обратной функции окажется симметричным графику исходной функции относительно прямой y = x . В качестве примера рассмотрим функцию y = sin x , имеющую обратную на интервале

−π/ 2 ≤ x ≤ π/ 2 . Обратную к ней называют, как известно, функцию y = arcsin x , ее график представлен на рис. 15.4.

103

15.3. Предел последовательности. Рассмотрим важное понятие предела функции и введем его сначала для функции натурального аргумента, т.е. для последовательности.

Пределом последовательности { xn } называется конечное число a ,

символической записи это выглядит так:

lim xn = a ( ε > 0) ( N ) ( n > N ) (| xn − a |< ε) .

n→∞

Обозначение предела ввёл И. Ньютон в 1686г. Символ lim является сокращением латинского слова limes – граница, граничный камень.

Определим ε -окрестность точки a как множество всех x , удовлетворяющих неравенству x − a < ε, что эквивалентно двойному неравенству (см. рис. 15.5 )

a − ε < x < a + ε

которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (см. рис.15.5). Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а не-

т.е. последовательность модулей отклонения члена последовательности xn от своего предела a стремится к нулю с увеличением номера n (модуль – лат. modulus – мера).

104

которому сходится последовательность. Определим так называемые бесконечные пределы. Последовательность называется бесконечно

Среди бесконечно больших последовательностей будем различать последовательности, стремящиеся к бесконечности определённого знака.

Дадим в краткой символической форме определения таких последовательностей:

lim xn = + ∞ ( M > 0)( N )( n > N ) (xn > M ) ,

n→∞

lim xn = −∞ ( M > 0)( N) ( n > N)( xn < −M ) .

n→∞

Здесь для краткости употребляется тот же символ lim и слово

n→∞

«предел», хотя следует всегда помнить, что символы + ∞, − ∞ не являются числами, а введены лишь для упрощения записи.

Последовательность, стремящуюся к бесконечности, принято называть бесконечно большой, а последовательность, сходящуюся к нулю, – бесконечно малой.

Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел

16.1. Свойства сходящихся последовательностей. Определение предела последовательности не даёт способа его нахождения. Поэтому мы сейчас изучим основные свойства сходящихся последовательностей, которые значительно упростят задачу нахождения пределов.

105

1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Действительно, если предположить обратное, т.е. существуют два предела a1 и a2 , и взять непересекающиеся ε -окрестности этих точек (см. рис. 16.1), то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности должны одновременно находиться в обеих ε -окрестностях, что невозможно.

последовательности, не входящих в эту окрестность, есть наиболее

Рис. 16.2

3.В неравенствах для членов двух сходящихся последовательностей можно переходить к пределу, т.е.

начиная с некоторого номера N , члены последовательности xn будут находиться в

ε-окрестности точки a , а члены последовательности yn будут находиться

вε -окрестности точки b , т.е.

106

что противоречит предположению xn ≤ yn .

Рис. 16.3

Заметим, что из строгого неравенства для членов последовательности следует, вообще говоря, нестрогое неравенство для их пределов: например,

числа π в его десятичном представлении. Предел этой последовательности

равен нулю так как

0 ≤ αn ≤ 9 , n n n

т.е. она заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел равный нулю.

4.Предел суммы (разности) двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен сумме (разности) их пределов

lim(x ± y ) = a ± b.

n→∞ n n

что и доказывает указанное свойство. Здесь мы применили замечательное неравенство

| x + y | ≤ | x | + | y |,

которое для любого числа слагаемых формулируется так: абсолютная

величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых.

Докажем это неравенство для двух слагаемых. Сложив очевидные неравенства

− | x |≤ x ≤| x |

,

− | y |≤ y ≤ | y |

получим

−(| x | + | y |) ≤ x + y ≤| x | + | y |.

Это двойное неравенство эквивалентно доказываемому неравенству.

5.Предел произведения двух сходящихся к конечным пределам последовательностей равен произведению их пределов

lim xn yn = ab .

n→∞

Это свойство следует из неравенств

| xn yn − ab |=| xn yn + xnb − xnb − ab |=| xn ( yn − b) + b(xn − a) |≤

6.Предел частного двух сходящихся к конечным пределам последовательностей при условии, что предел делителя отличен от нуля, равен частному их пределов

Доказательство следует из следующей оценки разности

108

| xn - a | = | xnb - yna | = | xnb - ab + ab - yna | £

7.Неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (см. рис.16.4). Невозрастающая и ограниченная

снизу последовательность имеет предел.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Рис. 16.4

Это свойство будем считать интуитивно ясным и поэтому ограничимся его геометрической иллюстрацией и простым примером.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пусть последовательность xn ограничена, т.е. n | xn |< M , а yn → 0. Тогда неравенство

0 ≤| xn yn |≤ M | yn |→ 0 ,

и следствие из свойства 3 всё и доказывают.

16.2. Второй замечательный предел. Применим понятие предела последовательности для определения одного замечательного числа. Рассмотрим последовательность

109