9698

Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вращая относительно оси Ox окружность x2 + ( y − a)2 = r2

y

y2 = a + r2 − x2

y1 = a − r 2 − x2

a

r

x

Рис. 35.4

Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при

240

понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть

взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерывной (см. рис. 35.5).

f (x)

Рис. 35.5

При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.

Иначе обстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл

не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6). Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x = ε и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу

1

∫ dx .

ε x

241

y

f (x) = 1

x

1

ε

Рис. 35.6

Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода

В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу

Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.

Если в промежутке [ a, b ] функция f ( x) непрерывна, за исключением крайней точки (пусть для определённости это будет точка b

), то несобственный интеграл с бесконечными разрывами определяется как предел

В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не

существует или расходится.

Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое

242

36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.

Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству

D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .

В символической записи это выглядит следующим образом:

z = f ( x, y), ( x, y) D .

Множество D называется областью определения этой функции, а множество соответствующих значений z называется областью значений функции.

Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции

Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те точки, в которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой

можно получить представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).

10

36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Приведем предварительно определение ε -окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) как совокупность точек M ( x, y) , удовлетворяющих неравенству

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < ε2 .

Будем говорить, что последовательность точек

(x1, y1 ),(x2 , y2 ),K,(xn , yn ),K

стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние

dn = (xn − x0 )2 + ( yn − y0 )2

246

между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю при n → ∞ .

Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей

Определение предела функции двух переменных по форме ничем не

существует предела в начале координат.

Рис. 36.2

Действительно, пусть точка ( x, y) движется к началу координат по прямой y = kx, 0 < k < +∞ . Тогда

247

т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным

Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что

∙функция определена в данной точке и некоторой её окрестности;

∙существует предел функции в этой точке;

∙предел функции равен значению функции в этой точке.

При нарушении хотя бы одного из этих условий, говорят, что функция имеет разрыв в данной точке. Свойство непрерывности через приращения выражается так

т.е. непрерывность означает, что «малым» изменениям аргументов соответствуют «малые» изменения функции. Ясно, что эти понятия легко распространить на функции многих переменных.

Если функция непрерывна в любой точке некоторой области, то говорят, что она непрерывна в этой области. Убедитесь, пользуясь определением непрерывности, что функция z = x2 + y2 непрерывна в любой точке плоскости.

36.3. Частные производные, производная по направлению. Для функции одной переменной производная в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В случае функции двух переменных

плоскости. Это приводит к понятию производной функции по направлению, которая характеризует скорость изменения функции в выбранном направлении.

Начнем с простейшего случая, когда приращения происходят в направлении оси абсцисс, т.е. когда Dx ¹ 0, Dy = 0 . В этом случае предел

248

называется частной производной функции f ( x, y) по переменной x в

точке M 0 (x0 , y0 ) . Аналогично можно определить частную производную по переменной y

Из этих определений непосредственно следует, что для нахождения частной производной по данной переменной остальные переменные фиксируются и по обычным правилам дифференцирования отыскивается производная функции этой переменной. Например,