9698
.pdf
|
|
|
a |
a |
K a |
b |
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
1 |
|
|
% |
= |
a21 |
a22 |
K a2n |
b2 |
|
|
B |
K K |
K K K . |
||||
|
|
|
|
am2 |
K amn |
|
|
|
|
|
am1 |
bm |
|||
Очевидно, что |
% |
|
|
|
|
|
|
rang A £ rang B . |
|
|
|
|
|
|
Вопрос о совместности системы решает теорема Кронекера-Капелли (Леопольд Крó некер (1823-1891г.г.) – немецкий математик и Альфредо Капелли (1855-1910 г.г.) – итальянский математик).
Теорема Кронекера-Кaпелли. Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда
= % rang A rang B
(принимаем без доказательства).
Проиллюстрируем эту теорему в случае системы трех уравнений с тремя неизвестными
a x + b y + c z = d
1 1 1 1
a2 x + b2 y + c2 z = d2a3 x + b3 y + c3 z = d3
Рассмотрим расширенную матрицу
.
% |
|
b1 |
c1 |
a1 |
|||
B = |
a2 |
b2 |
c2 |
|
a |
b |
c |
|
3 |
3 |
3 |
d1 d2 . d3
Если |
det A ¹ 0 , то |
% |
|
|
|
|
rang B = rang A = 3 и, следовательно, система совместна. |
||||||
Если |
det A = 0 и |
существует отличный от |
нуля |
определитель |
третьего |
|
порядка, составленный из столбцов матрицы |
% |
% |
rang A < 3, |
|||
B , то |
rang B = 3, |
|||||
и, значит, система несовместна. И, наконец, |
если |
= x = |
y = |
z = 0 , то |
||
|
% |
|
в соответствии |
с |
теоремой |
|
rang B < 3, rang A < 3 и, следовательно, |
Кронекера-Капелли система будет совместна тогда и только тогда, когда выполняется условие
|
|
|
% |
|
|
rang A = rang B . |
|
|
x + y + z = 6 |
|
|
Пример 1. |
2x - y + z = 3 |
D( A) = -5 ¹ 0 |
|
|
|
- y + 2z = 5 |
|
|
x |
|
|
|
|
rang A = 3, |
% |
|
|
rang B = 3 , |
30
так как ранг не может быть больше числа строк. Система совместна. Найдите её единственное решение.
|
5x − y + 2z = 7 |
|
|
5 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
Пример 2. |
2x + y + 4z =1 |
D( A) = |
|
2 |
1 |
4 |
= 0 , |
|
|
|
|
1 |
3 |
-6 |
|
|
x - 3y - 6z = 0 |
|
|
|
(проверьте!), но есть минор второго порядка, отличный от нуля. Из расширенной матрицы образуем минор
5 |
-1 |
7 |
|
= -35 |
|
||||
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
-3 |
0 |
|
|
% |
и, следовательно, эта система несовместна. |
(проверьте!). Значит, rang B = 3 |
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система n уравнений с n неизвестными с отличным от нуля определителем всегда совместна. Её единственное решение можно получить по правилу Крамера. В частности, однородная система уравнений, у которой все правые части равны нулю, а определитель не равен нулю, имеет единственное так называемое
тривиальное решение.
Совместная система m уравнений с n неизвестными обладает единственным решением тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных. Поясним это на следующем примере.
x + y - z = 0 |
|
1 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|||||
2x - y + z = 3 |
|
|
||||
Минор |
2 |
-1 |
1 |
= 3 ¹ 0 , |
||
Пример 3. |
||||||
x - 3 y + 2z = 1 |
|
1 |
-3 |
2 |
|
|
2x - 5 y + 4z = 4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
поэтому rang A = 3. Вычислим минор четвёртого порядка расширенной
% |
|
|
|
|
|
|
матрицы B |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
-1 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
-1 |
1 |
3 |
= |
|
|
1 |
-3 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
-5 |
4 |
4 |
|
(сложим третий столбец последовательно с первым, вторым столбцами)
31
|
|
|
0 |
|
0 |
−1 |
0 |
|
|
3 |
0 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 0 1 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
= − |
3 −1 1 |
= |
|||||||||||
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
1 |
|
|
6 |
−1 |
4 |
|
||||
|
|
|
6 |
−1 |
4 |
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(вычитая из первого столбца третий, получим) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= − |
2 |
−1 1 |
|
= −3 |
= 0 , |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
−1 4 |
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
|||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Система совместна и число неизвестных совпадает с |
||||||||||||||||
значит, rang B = 3. |
рангом. Как найти ее решения? Нужно выписать те уравнения системы, которые дают отличный от нуля минор третьего порядка (так называемый базисный минор). В данном случае это три первых уравнения. Проверьте, что единственным решением системы этих уравнений будет (1, 2, 3) и оно удовлетворяет и оставшемуся уравнению. Это следует из того, что определитель расширенной матрицы равен нулю и, следовательно, элементы ее четвертой строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов первых трех строк (см. свойство 9 определителей).
x − 2 y + z = 3 |
|
|
( A) = 0 , rang A = 2. |
Пример 4. x + 3y − z = 1 , |
|
3x + 4 y − z = 5 |
|
|
|
Из расширенной матрицы можно составить три минора третьего порядка (столбец свободных членов последовательно подставляется вместо коэффициентов при неизвестных). Убедитесь, что все они равны
нулю Значит % = Система совместна но ранг матрицы A
. , rang B 2 . ,
меньше числа неизвестных, поэтому система имеет бесчисленное множество решений. Как их найти? Выписываем уравнения, «дающие» базисный минор, оставляя в левой части число неизвестных, равное рангу матрицы (причём оставляем те неизвестные, которые «входят» в базисный минор)
x − 2 y = −z + 3x + 3y = 1 + z
Решаем эту систему, считая z произвольным параметром
32
x = |
1 |
× |
|
|
|
-z + 3 |
-2 |
|
= |
11 - z |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
5 |
|
1 |
+ z |
3 |
|
|
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = |
1 |
× |
|
1 |
3 - z |
|
|
= |
2(z -1) |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
1 + z |
|
||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Сформулируем теперь общее правило, по которому решается совместная система линейных уравнений. Пусть rang A= r .
·Отыскиваем базисный минор порядка r (он получается при нахождении ранга матрицы).
·Выбираем r уравнений, «породивших» базисный минор (остальные отбрасываем).
·Неизвестные, «входящие» в базисный минор, оставляем слева, а остальные (n - r ) называем свободными и переносим в правые
части уравнений.
·Решаем полученную систему r уравнений r с неизвестными. Из этого правила следует, что в случае, когда ранг совместной
системы меньше, чем число неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений. В частности, однородная система n уравнений с n неизвестными и равным нулю определителем, т.е. когда
= % < rang A rang B n ,
кроме тривиального имеет ненулевые решения.
Раздел 2. Векторная алгебра
Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними
5.1. Основные понятия и определения. Понятие вектора
сформировалось в физике, точнее в механике. Скорость, ускорение, сила определяются величиной и направлением и называются векторными величинами. Масса, объем, температура и т.п. определяются численным значением и называются скалярами или скалярными величинами. Вектор
– это направленный отрезок. Обозначается вектор символом a или AB , где точка A – начало, а B – конец.
33
B
A
Рис 5.1.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между его
началом и концом и обозначается | AB | или | a |.
Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым вектором 0 .
R |
|| b , если они параллельны |
Векторы называются коллинеарными a |
|
одной прямой. |
|
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости (очевидно, что любые два вектора компланарны).
Два вектора |
a и b равны, если |
они коллинеарны , одинаково |
|||
направлены |
R |
−− b |
и их длины равны | |
R |
|=| b |. Отсюда следует, что при |
a |
a |
перемещении вектора параллельно самому себе получим равный ему
вектор. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единичным вектором |
или |
ортом называется вектор, модуль |
|||||||
которого равен единице (| a |= 1) . |
|
|
|
|
|
||||
5.2. Линейные операции над векторами. Произведением вектора |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
, который: |
a на число k называется вектор b = k a |
|||||||||
∙ |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
имеет длину | b |=| k | × | a | |
|
|
|
R |
|
||||
∙ |
коллинеарен вектору |
a |
( b |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
a ); |
|
||||||
∙ |
если |
k > 0 , то |
R |
; |
|
|
|
|
|
b −− a |
|
|
|
|
|
||||
∙ |
если |
k < 0 , то |
R |
; |
|
|
|
|
|
b −↓ a |
|
|
|
|
|
||||
∙ |
если |
k = 0 , то |
b = 0 . |
|
|
|
|
|
|
Рис 5.2
34
Свойства этой операции: |
1) |
k a = a k ; |
2) k (la ) = (kl )a ; |
|
3) (k + l)a = ka + la ; |
4) |
R |
R |
+ kb . Последнее свойство |
k (a + b) = ka |
||||
иллюстрирует следующий рисунок, где |
k = 2 . |
|
2a
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
+ b |
|
R |
+ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
R |
+ b ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.3 |
|
|
|
|
|
|
||
Вектор |
|
R |
R |
называется |
противоположным вектору a . |
||||||||||
b = (−1) a = −a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
По определению операции умножения вектора на число вектор b = k a |
|||||||||||||||
коллинеарен |
вектору |
|
a . |
Покажем, |
что |
имеет |
место |
обратное |
|||||||
утверждение: если два вектора коллинеарны |
R |
|
|
|
|
||||||||||
( a || b ), то существует такое |
|||||||||||||||
число k ¹ 0 , |
что |
R |
, |
и |
это |
число |
с |
точностью до знака |
равно |
||||||
b = k a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
−− b , |
отношению длин этих векторов. Действительно, в случае, если a |
|||||||||||||||
возьмем |
|
R |
| . Тогда векторы |
b |
и |
k a направлены в одну сторону и |
|||||||||
k =| b | / | a |
|||||||||||||||
|
|
|
R |
|
В случае |
R |
|
|
выберем |
|
R |
| . |
|||
их длины равны, т.е. b = k a . |
a −↓ b |
k = − | b | / | a |
|||||||||||||
Суммой |
двух |
векторов |
a |
и |
b |
|
называется |
вектор |
R |
R |
|||||
|
c = a + b , |
||||||||||||||
получаемый по одному из следующих правил. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Правило треугольника: |
начало вектора |
b |
совмещается с концом |
||||||||||||
вектора |
a , |
тогда начало вектора |
c |
совпадает с началом вектора |
a , а |
||||||||||
конец – |
с концом вектора |
b |
(рис 5.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a
Рис. 5.4
Из рисунка ясно, что порядок слагаемых может быть любой, т.е.
35
R |
R |
a |
+ b = b + a . |
Отсюда следует правило параллелограмма: на векторах a и b , имеющих общее начало, строится параллелограмм, тогда начало вектора c совпадает с общим началом векторов a и b , а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (рис.5.5).
Рис. 5.5 |
|
|
|
|
Для суммы справедлив сочетательный закон |
R |
R |
R |
R |
(a |
+ b) + c |
= a |
+ (b + c ) . |
Заметим, что векторы не обязаны быть расположенными в одной плоскости (см. рис. 5.6).
Рис. 5.6
Отметим также операцию сложения с нуль-вектором
R |
R |
R |
a |
+ 0 = 0 + a |
= a |
Разность векторов a и b определяется через введенные выше операции следующим образом
R − = R + − a b a ( b)
36
Рис. 5.7
5.3. Проекция вектора на ось. Напомним, что проекцией точки M
на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно этой оси (рис. 5.8).
L
M
M 1
Рис. 5.8
Проекцией вектора AB на ось L называется число ПрL AB , равное по модулю расстоянию между проекциями начала и конца вектора AB на
ось L , и взятого со знаком плюс, если направление вектора A′B′ совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если они направлены в противоположные стороны.
37
|
|
|
B |
|
|
|
|
A |
ϕ |
|
|
|
L′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
L |
|
|
|
B |
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.9 |
|
|
|
|
Из рисунка ясно, что |
ось L и |
вектор |
AB можно считать |
||||
расположенными в |
одной |
плоскости |
П. Далее |
будем считать |
её |
||
совпадающей с плоскостью чертежа. Под углом |
ϕ |
между осью L |
и |
вектором AB будем понимать меньший из углов, который отсчитывается от направления оси до направления вектора. При этом луч, совмещающий направление оси с направлением вектора поворачивается на угол
0 ≤ ϕ ≤ 1800 .
Теорема. Пусть вектор AB составляет с направлением оси L угол ϕ
. Тогда верна формула
ПрL AB = AB cos ϕ .
Доказательство. В случае, когда угол |
ϕ острый, утверждение |
очевидно. В случае тупого угла имеем (см. рис. 5.10)
ПрL AB = − | A1 B1 | = − | AB | cos(π − ϕ) =| AB | cos ϕ
|
B |
B |
|
A |
ϕ |
|
ϕ |
|
|
||
|
|
|
A |
|
|
L |
L |
|
|
|
|
A1 |
B |
B1 |
A1 |
|
1 |
Рис. 5.10
38
Отметим следующие важные свойства проекции векторов.
Свойство 1. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их
проекций на эту ось (см. рис. 5.11 и 5.12). Точки A1 , B1 |
и C1 – проекции |
точек A, B и C на ось L . |
|
C |
L |
C1 |
|
A |
|
B |
|
A1 |
|
Рис. 5.11
AC = AB + BC
ПрL AC = A1C1 = A1B1 + B1C1 = ПрL AB + ПрL BC
C
L
C1
A B1
B
A1
Рис. 5.12
AB = AC + CB
ПрL AB = A1B1 = A1C1 − C1B1 = ПрL AC + ПрL CB .
Свойство 2. Если вектор умножается на число, то его проекция умножается на это же число
39