9698

имеет предел при n → ∞ . Предел этой последовательности оказался числом иррациональным, но настолько важным для математики и её приложений, что получил собственное имя

e ≈ 2.718281828459045K

По традиции предел

называют вторым замечательным пределом. Из (16.1) следует, что

год. Через год величина вклада с учетом начисленных процентов будет следующей:

Это формула сложных процентов, её название сложилось исторически, а в самой формуле нет ничего «сложного». Однако начисление процентов по этой формуле имеет определённые неудобства: начисление процентов по вкладу производится только в конце года. А если вкладчик потребует свой вклад через полгода или через месяц? Нужно чаще начислять проценты. Так, если проценты начислять ежеквартально, то в конце года величина вклада будет равна

годовых. Если процентные деньги прибавлять один раз в конце года, то вклад превратится в 200 р. Если это делать поквартально, то в конце

процентов производить ещё чаще? Например, при ежедневном начислении процентов каждая денежная единица будет умножаться на величину

При непрерывном начислении процентов, т.е. при n → ∞ мы получаем

Таким образом, даже при таком «фантастическом» проценте (к =100%) в конце года вклад увеличится приблизительно в 2.7 раза.

минуя обращение к его определению. Однако на этом пути возникают трудности, связанные с невозможностью непосредственного применения этих свойств. Поясним на примерах. Пусть требуется найти предел отношения двух последовательностей, сходящихся к бесконечности

n→∞ yn

Мы не можем непосредственно применить свойство о пределе частного двух последовательностей. Предварительно необходимо преобразовать это выражение к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи

111

yn = n ).

Самым распространенным приемом раскрытия неопределенности

¥

, когда числитель и знаменатель представляют собой комбинации

¥

степенных функций, является деление того и другого на такую степень n , чтобы неопределенность исчезла. Например,

последовательность yn стремится к ∞. Приведем пример раскрытия такой неопределенности:

112

где применён предел (16.1).

Заметим, что неопределенность (1∞ ) может быть сведена к неопределенности (¥ ×0) путем логарифмирования: сначала находим

Лекция 17. Предел функции. Непрерывность

17.1. Предел функции. Понятие предела функции служит для исследования функции в окрестностях точек, в которых непосредственное вычисление значения функции вызывает трудности, а также при больших значениях аргумента (в окрестности бесконечности). Интуитивно, предел функции – это определенное число (или бесконечность), к которому неограниченно приближается последовательность значений функции, когда последовательность значений аргумента стремится к некоторому числу или к бесконечности. Поэтому предел функции определим через уже изученное понятие предела последовательности.

Пределом функции y = f (x) , когда x стремится к x0 , называется число A, если для любой последовательности значений аргумента {xn } , сходящейся к x0 , последовательность соответствующих значений функции yn = f (xn ) стремится к A. Это определение как частный случай включает в себя возможность каждому из чисел x0 и A быть бесконечностью.

113

Согласно определению для вычисления предела функции требуется найти предел последовательности

lim f ( x ) ,

n→ ∞ n

f ( xn ( 2 ) ) сходятся к разным пределам (включая случай, когда один из них не существует), то функция не имеет предела в данной точке. Например,

Рис. 17.1

114

последовательность значений функции стремится к 1, а для любой отрицательной последовательности xn < 0 , стремящейся к нулю, соответствующая последовательность значений функции сходится к -1. Это наводит на мысль определить так называемые односторонние пределы функции, а именно предел слева и предел справа.

Непосредственное вычисление пределов функций осуществляется на основе свойств пределов последовательностей, подробно изложенных в предыдущей лекции. В частности, предел суммы, разности, произведения, частного двух функций равен сумме, разности, произведению, частному их пределов (в случае частного предел знаменателя должен быть отличен от нуля). Эти свойства используются для раскрытия неопределенностей при нахождении предела функции аналогично тому, как это делалось при нахождении пределов последовательностей.

17.2. Первый замечательный предел. Продемонстрируем в качестве примера нахождение так называемого первого замечательного

предела

то значение аргумента x , измеряемое в радианах, будем считать положительным и малым. Рассмотрим часть дуги окружности AFC единичного радиуса.

115

Второй замечательный предел, когда аргумент принимает вещественные значения, имеет вид

17.3. Непрерывность функции. Понятие предела функции позволяет сформулировать такое важное свойство функции как ее непрерывность в данной точке. Интуитивно ясно, что непрерывной зависимости соответствует ситуация, когда «малое» изменение аргумента вызывает «малое» изменение значения функции. Геометрически это означает, что график этой функции рисуется, не отрывая карандаша от бумаги, т.е. непрерывно. Математически это понятие определяется следующим образом.

т.е. при нахождении предела непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами. Пример использования этого свойства непрерывной функции рассмотрим в связи с отысканием следующего предела

Здесь мы поменяли местами порядок взятия предела и вычисления функции и применили второй замечательный предел.

117

Условие (17.3) также может быть записано в эквивалентном виде

lim [ f (x) − f (x0 )] = 0 ,

x−x0 →0

означающее, что приращение непрерывной функции f = f (x) − f (x0 )

стремится к нулю, когда приращение аргумента x = x − x0 стремится к нулю, т.е.

lim f = 0 .

x→0

Из определения следует, что для непрерывной в точке функции предел слева равен пределу справа и равен значению функции в этой точке

Если нарушается хотя бы одно из этих равенств и оба односторонних предела существуют и конечны, то говорят, что в данной точке функция имеет разрыв первого рода. В остальных случаях нарушения условий непрерывности, т.е. когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, у функции в этой точке разрыв

второго рода. Например, функция y = x непрерывна во всех точках

| x |

области определения, а в точке x0 = 0 «терпит» разрыв первого рода. Отметим так называемый устранимый разрыв, когда

односторонние пределы в точке конечны и равны, а в самой точке функция или не определена или ее значение не совпадает с односторонними пределами. В этом случае можно или доопределить или изменить значение функции в этой точке так, чтобы ее значение было равно односторонним пределам (17.4), тем самым получив непрерывную функцию. Например,

замечательный предел, доопределим её до непрерывной функции следующим образом:

Это непрерывная в точке x0 = 0 функция (см. рис. 17.4).

118

17.4. Свойства непрерывных функций. Функция называется

непрерывной в данном интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала. Все элементарные функции непрерывны в областях их определения. Соответствующие свойства предела функции позволяют утверждать, что сумма, произведение, частное (когда знаменатель не равен нулю) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Покажем, что сложная функция, представляющая собой

Очевидно также, что обратная к непрерывной функции тоже непрерывна (напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).

Если непрерывная функция на концах замкнутого промежутка принимает значения разных знаков, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция обращается в ноль (см. рис.17.5).

f (b) > 0

y = f (x)

a

119