Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

12.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 309 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 101	КЛАССЫ	ХАРДИ Нр	АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ		81
В соответствии с		теоремой	Егорова	(см., например, [13],	гл. IV,
§ 3) множество Е выберем			так, чтобы Ф (reis) р а в н о м е р н о
сходилась к Ф* (eis) при г -> 1 и s е				Е. Тогда при г -v 1 первое

слагаемое справа в (10.9) стремится к пулю и, кроме того,

В силу ужо доказанного первого равенства (10.8) отсюда получаем также

Следовательно, последние два слагаемых справа в (10.9) можно сделать сколь угодно малыми, устремляя (согласно теореме Его рова) меру множества е к нулю, а г к 1; это доказывает вторую фор

мулу (10.8).					установить	представление каждой функ
10.7.	Теперь можно
ции Ф (z) е Нх иптегралом Пуассона — Лебега (10.3).
Т е о р е м а		10.3 (Г. М. Фпхтенгольц, см. [25, а)]). Класс ана
литических функций, представимых одной из формул (10.2),
(10.3), один и тот оке и совпадает с классом Кх.								(10.2) тео
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Относительно интеграла
рема доказана		(см. п.	10.1).		Обратимся к формуле (10.3). Пред
ставленная ею функция Ф (z) принадлежит Нх, какова бы ни была
/ G i ( 0,	2я),	ибо	2г.	2г.			2я
2п
i \|®(pel4) \| £ f o < ^ -			\ da ^ \f(s)\P(p,a-s)ds =				^ \f{s)\ds.
о			0	0			о
Обратно,	пусть	Ф (z) е Нг. Тогда, согласно формуле Пуассона,
примененной к кругу			\|z\| <	г, при р < г имеем
	ф(р^‘”) = 4 г				___ г
			^ ф ( « ч г* -f рв —			2pr cos ($ —	б)	’
следовательпо,			о

				—	2гр соз (у —	— Р (р, б — s) \|ds +
	о					о)

		+				________ —	р-___________ ,
			1 ф	(г ^	) - ф + ( ^ ) 1 г2 + р2 —		2гр cos (s— б)aS'

г р а н и ч н ы е с в о й с т в а а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й

[ГЛ. III

При фиксированном р 1 и при г — 1 первое слагаемое стре мится к нулю, в силу того, что разность под знаком модуля равно мерно по г ограничена и стремится к нулю, а второе — в силу второй формулы (10.8) и ограниченности ядра. Поскольку левая часть последнего неравенства вообще от г не зависит, приходим

кформуле (10.3). Теорема 10.3 доказана.

10.8.Интегралом типа Коши — Лебега называется выра-


			40.10)
где / — произвольная функция из L (0, 2л). Выражение			(10.10)
называется интегралом Коши — Лебега, если		плотность /		поч
ти всюду на	окружности \z\ = 1 совпадает с	предельными		не
касательными	значениями Ф+ (е“ ) представленной этим		интег
ралом функции. Заменяя в формуле (10.10)		произведение		fds

на меру dp, (а), порожденную произвольной функцией р. (а) огра ниченной вариации, приходим к выражению

называемому интегралом типа Коши — Стилтъеса. Если и здесь

Ф+ (eio) почти	всюду -(существует и) совпадает с р/ (ст), то (10.11)
называется интегралом Коши — Стилтъеса.			а)]). Интеграл
Т е о р е м	а 10.4 (В.	И. Смирнов, см. [22,
(10.11) принадлежит всем классам Нр при 0			< 1,	какова бы
ни была функция р, (а).		достаточно провести	для	того слу
Д о к а з а т е л ь с т в о

чая, когда р, (а) — вещественная и неубывающая. Однако в этом случае

2Я

и (р, с) = Re Ф (рг*) = ^ $ 551£i£L£l ^ (s) > 0, 0

где г = \еи — z|, со (a; z) — угол между радиусом-вектором, иду щим из z в точку еи, и внешней нормалью к окружности \z\ = 1;

неравенство	имеет	место	в силу очевидной	оценки \|со \|^ я/2.
Из соотношения Фр (z) =			\|Ф (z)\|p exp ip arg	Ф (z)	и неравенств
— п/2 ^ arg	Ф (z) <	я/2,	эквивалентных условию		и (р, а) > 0,

получаем

\|Ф(*)\|р<	Re Фр (г)	0 < р < 1 .

, 10]	КЛАССЫ	ХАРДИ Яр АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	83
Интегрируя это		неравенство вдоль окружности \|л\| = р <	1

и используя теорему о среднем для (однозначной) гармонической функции Re Фр(л), приходим к теореме 10.4:

2г.

‘{ |ф (р eta) I*<ij < — i— Re Ф" (0). » соз- j -

10.9.Дальнейшее изучение интегралов (10.10), (10.11) осно вано на следующем важном утверждении:

Т е о р е м а

10.5

(В. И. Смирнов, см. [22, а)]). Пусть Ф(л) е

е Я р, р >

Если

почти

для

всех s 6Е [0, 2я1

имеет место

нераветтво |Ф+ (е{В) |

М, М = const < +

оо, то |Ф (л)| ^

во всем круге

|z| <

Если же Ф+ (eis) е

i ,

(0,

2я) при g >

р,

то Ф (л) е

Hq.

Представим функцию

Ф(л) по фор

Д о к а з а т е л ь с т в о .

муле

(10.7). Поскольку

Ф0 (л) е Я р и не

имеет нулей в круге

|л| <

1, то в нем существует однозначная ветвь [Ф„(л)]р, принад

лежащая классу Нг. Согласно

теореме 10.3 эту функцию можно

представить

интегралом Пуассона — Лебега

(10.3)

[Фо (2)1” = ^

\ [® : И 1 РР (Р, « - » ) * .

ре*”.

Замечая теперь, что

|Ф (л)| <

|Ф0 (л) |при

|л| <

1 и что почти

всюду

на

окружности

|л| = 1

имеем

также

|Ф^ (еи) 1=

= |Ф+ (е14)|,

получаем

Iф (2) 1Р <

2П

I Iф+ («*“) 1Рр(р» а“ s)

z = Р6*

Отсюда с очевидностью вытекает первое утверждение теоремы. Чтобы доказать второе, применим к последнему интегралу нера венство Гёльдера с показателями qlp > 1 и g/(g — р);

11Ф(«) г < ж \ I Ф*(«“)Г Р 'Л(Р. а - 2 ) ^ ’ -""(Р , о - 2 )* < 0

(S |Ф*ИГ‘^(Р. ° - S)dsf( 5 Р(р, б - 2) * ) ' " ”" ,

что немедленно дает

Iф w г < -Е- J Iф* («") Гр (P. « - 2)& .

84	ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ			[ГЛ. III
Остается	проинтегрировать	это неравенство вдоль окружности
\|z\| = р <	1, чтобы завершить доказательство теоремы.
10.10.	Предположим, что		функция Ф (z) представлена своим
интегралом Коши — Лебега		или	Коши — Стилтьеса.	В этом

случае, согласно самому определению (см. начало п. 10.8), пре дельные значения Ф+ (е**) существуют почти всюду и принадле жат L (0, 2л). Согласно утверждениям теорем 10.4, 10.5, функция Ф (z) принадлежит классу Нх.

Чтобы доказать обратное утверждение, вспомним, что каждая

функция Ф (z) е # ! может быть представлена интегралом										(10.3)
(см. теорему 10.3). Отсюда следует,					что	ее вещественная				часть
и (р, а) = Re Ф (peio)		представима интегралом Пуассопа — Ле
бега с плотностью fi(s) = u(l,s):
	2п					2«
“ (Р.«) -	$ / 1 » Р (Р . « - « ) * -					\ Ы«>		- J r r *
	0					0
(см. формулу (9.1)). Следовательно, каждая функция Ф (z)										е Нх
представима интегралом Шварца
ф (*) - ^	f /l ® - j r r f * +			iC’	Л (») = Re ф+ («*•).				(1 0 .1 2 )
	о
причем, как следует из			(10.3),
			2Я		U («) =
С =	1 т ф (0 )	=	^ $ Л	(s) * ,	U («) =		1 т Ф* (<!<■)•
			о
Функция — £Ф (z) = v (р, а) — iu (р, а),						v (р,	а)	= 1 т	Ф (peio),
тоже входит	в класс	Н1у следовательно,
-1Щ г)		о	/ , ( » ) - £ ^ - * -			\|0
		о				\|0

Умножая это равенство на i и складывая с (10.12), после элемен тарных преобразований для Ф (z) получим интегральную формулу Коши

®<*>= 2Sr $	* - * < W < ‘ -	(10.10')
14=1

Очевидно, что ее можно представить и в виде (10.11), вводя в рас смотрение меру dp, (s) = Ф+ (eie) ds. Таким обрааом, доказана следующая


§ 10]	КЛАССЫ ХАРДИ Нр АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ			85
Т е о р е м а 10.6 (Ф. Рисе и М. Рисе, см. [18]).			Класс ана
литических функций Ф (z), регулярных в круге \|z\| <			1 и предста
вимых либо интегралом		Коши — Лебега, либо интегралом		Ко
ши — Стилтьеса, один		и тот же и совпадает с	классом Нх.
Интересно отметить,		что класс функций, представимых в виде
интеграла	типа Коши—Лебега, шире класса Нх (см. ниже,			§ 13,

п.13.6).

10.11.В заключение докажем теорему Коши для функций

класса Я х и граничную теорему единственности для функций клас са Я р, р > 0.

Т е о р е м а	10.7 (Ф. Рисе и М. Рисе, см. ]18]). Для кахедой
функции Ф (z)	из класса Нх имеет место равенство
	2я
	^ Ф+( е « ) ^ = 0.		(10.13)
	о
Д о к а з а т е л ь с т в о . В		каждом круге	\|z\| г < 1 функ
ция Ф (z) непрерывна, поэтому,		согласно теореме Коши,
		2п
	^ Ф (t) dt = г ^ Ф (reu) deis =		0.
	KNi	о

Кроме того, Ф+ (eis) существует почти для всех s fE [0, 2я] и принадлежит L (0, 2я), Теперь можно записать

2п 2я

|^ гф (re’«) deu — ^ Ф+(eis) deis|<

о	о	г-к
	гг.	г-к

< ^ |Ф(ген) — Ф+ (еи) |<& -{- (1 — г) ^ |Ф+ (eis) |ds.

О о

Чтобы получить отсюда формулу (10.13), достаточно вспомнить предыдущее равенство и второе соотношение из (10.8).

Т е о р е м а 10.8. Если функция Ф (z) е Я р, р > 0, на мноotcecmee е положительной меры имеет пулевые некасательные пре

дельные значения, то Ф (z) =			0.
Д о к а з а т е л ь с т в о в			силу разложения (10.7) достаточно
провести для функций		класса		Нг (ибо Ф? (z) (Е Кх). Построим
гармоническую функцию		21»

	м(р, б> =	-Ш \ &() (Р. 6 -			s) *»
		о
ГД®	Хе (s) — характеристическая			функция	множества е, Пусть
v (р,	а) — сопряженная к ней гармоническая функция и <р (z) =

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	[ГЛ. III
= и + iv. Поскольку ехр тг<р (л) ограничена при каждом п,		то
последовательность Фп (л) = Ф (л) ехр лф (л) входит в	класс	Нг.

Применяя теорему		10.6, получим
ф (-) ехр{-лф(г)}		Р Ф* (*) ехр {жр (f)}			__
2lti		\t\h		*~ 2			,, ,
_	exp {—ray (z)} P			Ф+ (t) exp {ratp (*)}			,, ,
”		2ni	)	t —	z		^
		,	exp {—n<p (z)}		P		Ф+(t) exp {mp (t)} .
		“•		2it£	5		Г^г
					[0, 2я]\е
Будем считать точку л,			\|л\| < 1, фиксированной. Так как и =
= Re ф (л) > 0 ,	а на множестве точек t —e ^ .sg [0,2л\ \ е, имеем
и = 0, так что	\|ехр {лф (2)}\| = 1, то второе						слагаемое	справа в
последней формуле при л				оо стремится		к	нулю. Следователь
но (см. [6]),
Ф(г) =	lim			Ф*«)\|£ (-Ф (‘)) dt<				(10.14)
	П-*оо			J	t	Z
				в
каково бы ни было множество положительной меры е. Отсюда									сле
дует, что Ф (л) = 0		в круге		[л\| < 1, если Ф+ (t) = 0 на е,					что и
требовалось.

Отметим, что на самом деле теорема единственности имеет ме сто для значительно более широких классов функций (см., на пример, [16], гл. IV).

§11. Область со спрямляемой границей. Классы Смирнова Е р

11.1.Пусть G — односвязная область, ограниченная спрям ляемой кривой С, и пусть л = о (£), ©' (0) > 0,— функция,

осуществляющая конформное и однолистное отображение круга


\|£\| <	1 на G. Как известно,		о (£) непрерывна в замкнутом круге
\|£\|^	1 и взаимно однозначно отображает окружность \|£[ = 1 на С.
Следовательно,		кривую	С можно задать	уравнением л =
= © (eia), 0 < о <		2я, и так как Сспрямляема,		© (eia) есть функция

ограниченной вариации. Функцию ю (£), очевидно, можно пред ставить интегралом Пуассона — Лебега

	ап
®(Р*ь) =	“ (•) р (Р. б - s)ds.
	о

Считая р < 1 фиксированным, продифференцируем эту формулу по or, а в получившемся вьфажении проинтегрируем по частям,

§ 11]	ОБЛАСТЬ	СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ	87
пользуясь формулой Ps — —Р0; получим
ipeia®' № а) =	2."	2Г	^ (s)*
ipeia®' № а) =	I 03	р»(Р» 6 ~ s)* = 25Г $ Р(Р* 6 ~	^ (s)*
	о	о

Согласно теореме 10.3, функция i£a>' (£) е Я*. Согласно той же теореме, эта функция представима в виде интеграла Пуассона — Лебега через свои предельные значения геиа>' (eie), поэтому

2я	2Г.
ifr' (S) =	й ” ®' (*°) Р (Р, о - я) ds = ± ^Р (р, о - s)dg(s),
	(11. 1)
	g (s) = ^ iei0со' (eio) da.
	о

Заметив, что g (2я) = 0, согласно теореме 10.7, воспользуемся

интегрированием по		частям. Тогда
		2*
ft»' (0 = £	и (ре1*) “	-К )	* W	<Р’ 0 ~	“
		о			2л
					2л
Отсюда получаем (при \|£ \|< 1)
		2п
и (й = ^ - 5 в ( е ) ^ ( Р , « - е ) * + с(р), £ =						(<,
		О
где с (р) — гармоническая			функция в круге		\|£\| <	1. Поскольку
она зависит	только	от р,	то,	как нетрудно	убедиться, с (р)		=
= a In р +	Ъ. Из соображений непрерывности следует, что a =						О,

поэтому функция о (£) представима в виде интеграла Пуассона —

Лебега от	абсолютно непрерывной функции g (s) + Ь. Согласно
следствию	9.1, (ii), и из непрерывности о (е1*),		g (s),	получаем,
что © (е1в)	а б с о л ю т н о	н е п р е р ы в н а	н а	[0, 2я]*).
Из второй формулы (11.1) получаем
	^-®(е“) = «еЧо' (eia)			(11.2)

х) Обратное утверждение тоже верно: если со (£) непрерывна в круге 111< 1 и абсолютно непрерывна на окружности |£ |= 1, то со' (£) е #i

(см! [17]).

88 ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ П’Л. III

почти для всех а ^ [0, 2я]. Кроме того, длина дуги s на кривой С как функция угла а абсолютпо непрерывна на [0, 2л]. Таким об

разом, получаем теорему:

Т е о р е м а 11.1. Функция со (С), конформно и однолистно отображающая круг |£| < 1 на область G со спрямляемой грани

цей С, непрерывна в замкнутом круге \|£\|	1 и абсолютпо непре
рывна на окружности £ = eia, 0 ^ а ^	2л,.	производная со' (£)
принадлезкит Hlt имеет место формула (11.2)		и длина дуги s =

=s (а) является абсолютно непрерывной функцией угла а. Последнее утверждение означает, в частности, что каждое


множество меры нуль на окружности \|£\| = 1 при			отображении
z = © (ei0)	переходит также в множество меры нуль. Верно и
обратное: каждое множество нулевой меры на границе С отобра
жается обратной к со (£) функцией в множество меры нуль па
окружности	\|£\| = 1 (см., например, [16], гл. Ill,		§ 1). Поэтому
функция а = a (s), обратная к s = s (о), также абсолютно непре
рывна. Конформность отображения z = со (£) почти			всюду имеет
место и на	окружности \|£\| = 1,	так что там \|со' (£)\| фО почти
всюду.	Свойства гладкости	функции со (С) зависят от свойств
11.2.

угла 0 ($). Если, например, 0 (s) удовлетворяет условию Гбльдера,

т. е. кривая С является ляпуновской, то со' (£) непрерывна в зам
кнутом круге \|£\|	1, а ©' (eie) также удовлетворяет условию

Гёльдера (теорема Келлога; см., например, [5], гл. X, § 1). Если же 0 ($) — просто непрерывная функция, то arg со' (£) непрерывна в замкнутом круге (теорема Линделёфа, см. там же). Видоизменяя соответствующим образом рассуждения, используемые при до казательстве теоремы Линделёфа, приходим к следующему ут верждению:

Т е о р е м а 11.2. Пусть С — кривом Радона, так что 0 (s) — функция ограниченной вариации. Тогда функция arg со' (£) огра ничена вкруге |£| < 1, и в каждой точке гладкости кривой С имеет место формула

arg о/ (eio) =	0 (s (о)) — а — я/2.	(11.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Рассмотрим функцию
	0 < * < Я ,	ш < 1 *

Каждая ее непрерывная ветвь является гармонической однознач ной функцией при |£|< 1 и непрерывной в замкнутом круге |£| ^ 1. Будем рассматривать ту ветвь, которая равна нулю в точ ке 5 = 0. Покажем, что существует некоторая конечная постоян ная К, для которой |и (£; т )| < /С, каковы бы ни были 5* |£1 < 1, и т, 0 < т < я. Если бы это было не так, то существовала бы пос-

§ 111

ОБЛАСТЬ СО СПРЯМЛЯЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ

ледовательиость

(тЛ ,

для

которой

Кп =

max Iи (£;

tn)|->oo

при п

г,

оо. о

силу принципа максимума при каждом п сущест

вует такая точка

£n, |£n|=

1, что Кп =

\и (£п; т„)|. Можно, оче

видно, считать, что последовательность {£ „} сходится к некоторой

точке £0» ICoI = 1. Для каждого

С =

eio, 0 ^ а <" 2я, определим

ветвь arg (£eiT — £) =

а +

«у, где у =

arg {еи — 1), я/2 < у < я.

Рассмотрим функцию ф ($, s'),

построенную в п. 3.5, и ее значения

ф (s +

v, s),

где

v =

s (а +

т) — s (а) >

Используя

формулы

(3.4),

нетрудно

убедиться,

что

и (eia;

т) + arg (е*<0+т>— eia) =

==ф [s (а) -f-v, s (а)] + 2nN, где

N — некоторое

фиксированное

целое число. Как будет показано

ниже (следствие 14.1), ф (s, s')

при каждом фиксированном s имеет по s' полную вариацию, огра

ниченную числом V,

не зависящим от s. Так как в точке z (s0)

кривая С имеет касательпую и, следовательно,

функция ф (a, s0)

иепрерьнша па

(0,

5],

то

из соотношений

|ф (s, s')|< |ф (s, s') —

- Ф (s,

s0) |+

|ф (s,

s0)| <

V +

|ф (s, So)I получаем ограниченность

функции ф (s,

s'). Отсюда

в частности, вытекает ограниченность

последовательности {и (£п,

тп)}

вопреки

полученному ранее.

Итак, для некоторого К <

оо

имеем

|arg

| < * -

I£ I< 1 .

фиксируя точку

£,

|£1 <С li

и устремляя т к нулю, приходим к

первому

утверждению

теоремы. Доказательство

формулы (11.3)

в каждой точке гладкости кривой С может быть теперь проведено

так же, как и в условиях теоремы Линделёфа (см. [5], гл. X, § 1).

11.3.

Т е о р е м а

11.3. В условиях теоремы

11.2 функция

Into' (£) принадлежит классу Нх.

через

ln+ s

функцию,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

равную

In s

при

s >

нулю

при s <

пусть In- s =

= In s — In+s. Согласно теореме

о среднем,

2я

In I о' (0) I =

J In |со' (peia) |da=

2я

2Л

ln"|(i)' (ре*“) |da,

а поскольку

2я

2Я

ЙЯ

^ ln+|Q '(p^)|dc< jj К (pe^)|dc< J |o'(eie)\da = S

	ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ		[ГЛ. Ш
в силу неравенства ln+		леммы 10.2, то
	о
Следовательно,
2*	2*
^ \|InIсо'(peie) \\da- ^ 1п+\|ю'(ре4°)\|do —
		— ^ In" \|со' (peio) \|do < 25 — 2я1п Joo, (0)\|,
		о

т. е. гармоническая функция In |ш' (£)| принадлежит классу /ц. Аналогичное включение arg (o' (£) ЕЕ Jh имеет место в силу теоре

мы 11.2.	Поскольку \|1п о ' (£)\|	\|1п \|ю (£)\|\| +	\|arg (o' (£)\|, то
in <*>' (0	е= и г, что и требовалось.		всем классам
На самом деле функция In <о'(£) принадлежит			всем классам

Нр с конечными р. Действительно, в условиях теоремы 11.2 гар моническая функция arg to' (£) ограничена, следовательно, при надлежит hp при любом Р, 0 < р < оо. Согласно же неравенству Рисса (см. ниже, § 12), этому классу принадлежит и In |со'(£) |; отсюда следует, что In £й'(£) е Я р, 0 < р < оо.

С л е д с т в и е 11.1. Если граница С односвязной области G является кривой Радона, то гармоническая функция In |со' (£) I представима в круге |С I <С 1 интегралом Пуассона — Лебега, и следовательно, аналитическая функциями ©'(£) представима ин тегралом Шварца черев In |со'(е**)|.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, доста точно принять во внимание теоремы 11.3 и 10.3. Области G, для которых имеет место следствие 11.1, называются областями класса С (В. И. Смирнова). Таким образом, области с границей Радопа входят в класс С. Относительно кривых Ляпунова это утвержде ние очевидно.

11.4. Пусть {Gn} — последовательность областей, замыкания которых лежат внутри G, границы Сп этих областей спрямляемы

и сходятся к С в том смысле, что каждая точка z е= G принадле жит всем Gn, начиная с некоторого номера. Говорят, что функция Ф (z) принадлежит классу Ер, р >> 0, если для некоторой постоян ной Мр(Ф), не зависящей от п, имеют место неравенства

п = 1, 2 ,...,	(11.4)
хотя бы для одной последовательности спрямляемых	кривых

{Сп} с указанным выше свойством. Определение класса Ер усло-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 309 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги