книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

функция 0 (s) имеет конечную производную 0' (s) на мпожестве полной меры, причем функция 0' (я) измерима и даж е суммируема

Точная верхняя грань всевозможных сумм вида (1.5) называется полной вариацией функции 0 ($) на сегменте [0, S] и обозначается

т?(в).

Очевидно, функция 0 (s), удовлетворяющая на [0, 5] условию Гёльдера с показателем а = 1, имеет ограниченную вариацию (при S + оо). Кроме того, непрерывные функции с конечным числом максимумов и минимумов на [0, £], а также произвольные (конечные на [0, 5]) монотонные функции имеют ограниченную вариацию. Линейная комбинация, произведение и (при условии, что знаменатель отграничен по модулю от нуля положительной постоянной) частное двух функций ограниченной вариации есть снова функция ограниченной вариации. Из неравенства |0 (з) |

ние еще одной дополнительной точки деления не уменьшает суммы

*) См., вапрнмер, [9], гл. VIII, § 2.

к=1

непрерывная функция имеет ограниченную вариацию. Чтобы убе­ диться в этом, разделим сегмент [0, 5] на конечное число N сегмен­

тов длины, меньшей чем б = б (1). Тогда У / (0) ^ 1, следователь­

и опираясь на определение абсолютной непрерывности функции 0(a).

Абсолютно непрерывная функция 0 (а) непрерывна на [0, 5]. Существуют непрерывные, по не абсолютно непрерывные функции 0 (а); это будет в случае, когда 0 (а) имеет неограниченную вариа­ цию. Однако функция, удовлетворяющая условию Гёльдера с по­ казателем а = 1, абсолютно непрерывна.

Пусть ф (ст) — суммируема па [0, 5]. Тогда функция

абсолютно непрерывна. Это следует из абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множества, по которому ведется

к формуле (1.6) вытекает, что функция ограниченной вариации 0 ($), в частности, абсолютно непрерывная функция, имеет конеч­ ную производную 0' (s) на множестве полной меры, причем O '($) суммируема на [0, «Я. По отношению к интегралу (1.7) другая

теорема Лебега утверждает *), что 0' (а) почти всюду совпадает

с ф (а).

Разложение (1.4) произвольной функции ограниченной вариа­

где 0X(a) — прежняя функция скачков вида (1.3), 0О(а) — абсо­ лютно непрерывная функция, построенная по формуле (1.7) с за­

меной ф (а) на 0о (a), a 0О(а) — сингулярная функция функции ог­ раниченной вариации 0 (а) — определяется равенством (1.8). Она непрерывна на [0, 5], имеет ограниченную вариацию и почти всю­ ду равную нулю производную; в общем случае она отлична от нуля. Чтобы функция 0 (а) была абсолютно непрерывной, необ­ ходимо и достаточно, чтобы в разложении (1.8) отсутствовали

§о и 0г а).

§2. Спрямляемые кривые

2.1.Если на сегменте [а, Ь] заданы две вещественные конеч­ ные функции х = х (т), у — у (т), то будем говорить, что задана кривая С в плоскости комплексного переменного z = х 4- iy- Если к тому же х (т), у (т) непрерывны на [о, Ъ], что С называется

прерывна па [о, 6]. Обозначим через 0 угол между касательной к С и фиксированным направлением. Гладкая кривая характери­ зуется тем, что 0 может быть определен на [а, 6] как непрерывная функция параметра т. Если к тому же угол 0 удовлетворяет усло­ вию Гёльдера с показателем а, 0 < а ^ 1, на [а, 61, то С будем называть кривой Ляпунова.

параметром служит длина дуги, получим, что функции, входящие в (2.2) и почти всюду дифференцируемые, удовлетворяют почти всюду соотношению

Последнее равенство позволяет написать х' (s) = cos 0 (а), у' (а) = = sin 0 (s) (почти всюду на 10, £]), причем эти равенства опреде­ ляют угол 0 (s) с точностью до кратного 2л. В оставшихся точ­ ках угол 0 (s) можно определить произвольно и даже оставить не­ определенным. Учитывая абсолютную непрерывность . функций ж (sh y (s) и сказанное в копце § 1, будем иметь

х (а) = х (0) -|- § cos 0 (о) ds, у (s) = у (0) + ^ sin 0 (о) da. (2.4)

ио

2.3.Предположим, что спрямляемая кривая Жордана С обла­ дает следующим свойством: для каждой точки а СЕ [0, 5] сущест­

вует такая окрестность U (а) и такая постоянная к (а) > 0, что

|а - от |> |z (a) - z (а) |> /с (a) |а - а |, а е U (а) (2.5)

(первое неравенство выполняется всегда, см. п. 2.2). Учитывая замкнутость множества точек кривой С и ссылаясь на принцип

Условие (2.5) выполняется в каждой точке а^Е [0, £], в которой существуют обе производные х' (а), у' (а) и удовлетворяется ра­ венство (2.3). В частности, условия (2.6) выполняются на гладкой и даже на кусочно-гладкой кривой, не имеющей частей, встре­ чающихся под нулевым углом.

Для выяснения более общих условий, при которых имеет место второе неравенство (2.6), рассмотрим разности х (а) — х (а), у (а) — у (ст), воспользуемся формулами (2.4) и сошлемся на так называемую «первую теорему о среднем значении» г). Мы получим

1) См., например, [15], стр. 45.

20 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СПРЯМЛЯЕМЫХ КРИВЫХ [ГЛ. I

z\ (s) соответственно, причем множество значений s, где zr (s) Ф Ф z\(s), не более чем счетно. В каждой точке этого множества, переопределяя, если нужно, заново функцию 0 ($), можно пред­ полагать выполненным условие

нечна для кривой ограниченного вращения. Следовательно, пол­ ные скачки функции 0 (5 ), абсолютная величина которых больше я, могут встречаться только в конечном числе точек. От этих скачков можно освободиться, переопределяя угол 0 (mod 2л).

После того, как это выполнено, величина У* (0) называется абсо­ лютным вращением кривой С. Таким образом, можно предпола­ гать, что скачки h (s) функции 0 (s) по абсолютному значению не превосходят я. Те точки, в которых \h{s) |= л, называются точками заострения кривой С; их не более чем конечное число. Если |h (s) I < л, то соответствующая точка называется угловой. Таких точек на кривой Радона не более чем счетное количество. Отметим, что, тем не менее, множество угловых точек может быть всюду плотным на С. Во всех точках непрерывности угла 0 (s) кривая С изменяется гладко.

3.2. Предположим, что кривая Радона С не имеет точек зао­ стрения. Тогда в каждой точке гладкости кривой С колебание угловой функции равно нулю, а в каждой угловой точке это коле­ бание можно считать меньшим л (см. конец п. 3.1). Из сказанного в конце § 2 следует теперь, что для каждой кривой С ограничен­ ного вращения без точек заострения имеет место неравенство (2.6) (см. лемму 2.1).

Будем считать о s. Применяя к последнему интегралу первую