книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

Г л а в а II

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В настоящей главе изложен материал из некоторых специаль­ ных разделов функционального анализа: общая (но вполне эле­ ментарная) теория ограниченных операторов с конечным индек­ сом в банаховом пространстве (такие операторы мы называем

(iобобщенными) операторами Нетера, поскольку их основные об­ щие свойства впервые обнаружены в исследованиях Ф. Нётера по сингулярным интегральным уравнениям (1921 г.)); необходимые для дальнейшего результаты по интерполяции линейных опера­ торов во взвешенных функциональных пространствах Lv\ доста­ точные условия ограниченности и полной непрерывности некото­ рых интегральных операторов в аналогичных пространствах. В заключение приводятся разнообразные дополнительные заме­ чания, относящиеся главным образом к дальнейшему развитию затронутых вопросов.

§5. Обобщенные операторы Нётера

5.1.Пусть В — пространство Банаха, т. е. линейное (над полем комплексных чисел) нормированное и полное пространство. Основное внимание будет уделено изучению операторов U, кото­ рые либо действуют в пространстве В, либо отображают одно такое пространство 2?i на другое Z?2, причем область определения

DJJ оператора U совпадает со всем пространством, а сам оператор однороден, аддитивен и ограничен (т. е. непрерывен). Через В* будем обозначать банахово пространство, сопряженное В, а через U* — оператор, сопряженный оператору U.

Рассмотрим уравнение

где у — заданный, а х — искомый элемент. Множество элементов х е 2?i, удовлетворяющих однородному, уравнению (5.1), обозна­ чим через N (U); из аддитивности, однородности и непрерывности

способное принимать целые (положительные, отрицательные или нулевое) значения, называется индексом оператора U.

Предположим, в частности, что В^ = В2 = В и £ 7 = 7 — 7’, где I — тождественный, а Т — вполне непрерывный оператор. Согласно теории Рисса — Шаудера, в этом случае числа ац, Рп конечны и равны, а уравнение (5.1) с заданной правой частью у разрешимо тогда и только тогда, когда на элементе у обращаются в нуль все функцио'палы f GE N* (U) (аналог третьей теоремы Фред­ гольма) (см., например, [9|, гл. XIII, § 1). Следуя Хаусдорфу ([23], стр. 285), оператор £7 или уравнение (5.1) назовем нормаль­ но разрешимым, если для уравнения (5.1) имеет место только что сформулированный аналог третьей теоремы Фредгольма. Легко устанавливается, чго оператор £7 нормально разрешим тогда и только тогда, когда область его значений Ru замкнута в Вг (см. ниже, п. 8.1). Если оператор U определен на всем банаховом про­ странстве, однороден, аддитивен и ограничен, порождает конечно­ мерные подпространства N (£7), N* (£7) и нормально разрешим в смысле Хаусдорфа, то оп называется (обобщенным) оператором Нетера; в случае, когда индекс (5.2) равен нулю, U называется (iобобщенным) оператором Фредгольма. Для последних операто­ ров имеет место альтернатива Фредгольма по отношению к урав­ нению (5.1).

5.2. Операторы с описанными свойствами впервые были обна­ ружены в работе [16] в конкретной форме интегральных уравне­ ний, содержащих сингулярные интегралы в смысле Коши. В этой же работе была указана формула для определения индекса син­ гулярного интегрального уравнения. Примерно sa три десяти­ летия после Нётера усилиями многих математиков теория ука­ занного класса уравнений получила (в рамках классических предположений) исчерпывающее развитие и в полном объеме впервые в 1946 г. была изложена в монографии И. И. Мусхелишвили (см. [14]). В пастоящее время полное изложение теории сингулярных интегральных^ уравнений имеется также в моно-

2 и. И. Дапллгок

ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

графиях Ф. Д. Гахова (см. 13]) и В. Д. Купрадзо (см. Г11]); в указанных книгах содержится также весьма обширная библио­ графия.

Новый этап в развитии теории ознаменован проникновением абстрактной точки зрения в рассматриваемый круг вопросов. Этот этап начинается с важной работы С. М. Никольского (см. [17]), в которой были даны, в частности, необходимые и достаточные ус­ ловия для того, чтобы оператор U, действующий в абстрактном пространстве Банаха, был обобщенным оператором Фредгольма. В порядке обобщения этих результатов появилась работа Ф. В. Ат­ кинсона (cu. [1]), в которой были выяснены те же условия для случая отличного от нуля индекса, а также установлена формула индекса произведения операторов Нетера и доказана устойчивость индекса при возмущении оператора либо вполне непрерывным, либо малым по норме оператором. Некоторые из этих утвержде­ ний (в менее полных формулировках) были независимо получены в исследованиях И. Ц. Гохберга (см. [4, а), б)]). Следует отме­ тить, что абстрактный подход и к сингулярному интегралу, как к оператору в гильбертовом пространстве La, и к теории сингу­ лярных интегральных уравнений дан в работах С. Г. Михлина (см.^ [13, б), в)]); кроме того, в этих исследованиях установлена теорема об устойчивости индекса ограниченного оператора в La при возмущении его вполне непрерывным оператором.

Предположение об ограниченности оператора U, как показали исследования М. Г. Крейна, М. А. Красносельского, Б. Секке- фальви-Надя и др., не является необходимым для справедливо­ сти отмеченных выше результатов, и они сохраняют силу в одном только предположении о замкнутости оператора U. В таких (пре­ дельных, по-видимому) предположениях на оператор U теория изложена в статье [5]. Некоторые основные результаты этой статьи будут приведены в § 8.

Для самой теории сингулярных интегральных уравнений крат­ ко очерченный выше абстрактный ■аспект теории существенного значения не имел, и все наиболее важные обобщения в этой исход­ ной области были получепы па базе обобщений в теории гранич­ ных задач для аналитических функций. (Подробные библиографи­ ческие указания будут приведены ниже, в гл. У, § 21).

5.3. Имея в виду приложения к теории сингулярных интег­ ральных уравнений, ограничимся той частью рассматриваемой теории, в которой оператор U предполагается заданным на всем пространстве и ограниченным, и будем следовать при этом статьям

был обобщенным оператором Фредгольма, необходимо и достаточ­ но, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий’.

В заключение заметим, что разложения вида (5.3), (5.4) для со­ пряженного оператора U* также необходимы и достаточны для того, чтобы оператор U был обобщенным оператором Фредгольма (см.

отсюда легко следует, что gj образует полную систему решений сопряженного к (5.9) однородного уравнения g — Т\ g = 0. Со­ гласно аналогу третьей теоремы Фредгольма в теории Шаудера — Рисса, из условий (5.10) вытекает разрешимость уравнения (5.9). Из (5.10) вытекает, что Nx {U) — подпространство простран­ ства В и что пространство В есть прямая сумма N (U) и Nx (U): В = N {U) ф Nx (U). Из сказанного вытекает также, что линей­ ное многообразие N%(U) элементов вида

вполне характеризуется равенствами

36 ЙЗ *ЁО£ИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. И

следователь™, N2 (U) замкнуто, т. е. являотсяподпространством в В; пространство В является прямой суммой N2(U) и некоторого конечномерного подпространства, а функционалы fj представляют полную систему решений сопряженного к (5.11) однородного урав­ нения K*f = 0.

Теперь уже легко доказать, что оператор Нётера U осущест­ вляет взаимно однозначное отображение Nx на N2. В самом деле,

Таким образом, N2 = UNlt а взаимная однозначность отображе­ ния вытекает из того, что уравнение Ux = 0 имеет только нуле­ вое решение на подпространстве Nx (U) С В.

Согласно теореме Банаха, обратный оператор V, отображаю­ щий N2на Nx, существует и непрерывен. Введем еще оператор V, действующий по формуле

(5.13)

i=i

ипотому определенный на всем В и ограниченный.

Те о р е м а 5.2 (Ф. В. Аткинсон, см. [1]). Для того чтобы опе­ ратор U, действующий в банаховом пространстве В, был обоб­ щенным оператором Нётера, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из следующих условий'.

а) существует такой ограниченный оператор V, действующий в В, что

§ 51 ОБОБЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ НЁТЕРЛ 39

что дает первую формулу (5.14). Кроме того, для любого z е 5

что совпадает со второй формулой (5.14).

Для завершения доказательства теоремы 5.2 осталось уста­ новить, что условие б) достаточно, ибо иэ условий а) очевидным образом, в силу теории Шаудера — Рисса, вытекают условия б).

в виде Uyu где ух £Е 5. Следовательно, (5.15) можно записать так:

личным от нуля функционалом. Следовательно, на некотором

где х — некоторый элемент из В. Отсюда следует, что отличный

. . ., »!• Предположим теперь, что на элементе у исчезают все функцио­

(5.1). Вторая формула (5.16) представляет некоторое решение этого уравнения. Следовательно, оператор U нормально разрешим. Теорема 5.2 полностью доказана.

Первое утверждение теоремы 5.2 тесно связапо с вопросом о регуляризации ограниченного оператора U. Это понятие возникло в теории сингулярных интегральных уравнений уже в работах

(или V2) называется левым (соответственно правым) регуляриэую-