книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

задачи (19.47) из класса Ер ((?~) и с конечным порядком па беско­ нечности, каков бы пи был многочлен Qm(z).

Укажем сейчас условия, отличные от (19.64), при выполнении которых справедливо формула (19.66) для того же класса решений задачи (19.47). Согласно утверждепшо (И) теоремы 19.1, справед­ ливому, как легко убедиться, в условиях (19.3) как для кривой Ляпунова, так и для кривой Радона без точек заострения, все решения задачи (19.47) из класса Ер (G~) и с конечным порядком на бесконечности представимы по формуле (19.55) с некоторым

многочленом Рп (z). Переходя к граничным значениям Ф~ [z (s)I и пользуясь формулами (19.55), (19.48), (19.45), (19.50) и (19.53), получаем

имеющему место, в частности, для функций Й„ (s) из (19.6), удов­ летворяющих условию Гёльдера на [0, 5]. Далее, предположим,

($7). Исходя из указанной выше формулы для |Ф |, получаем оценку снизу:

|ф -[2(5)]|>

где т — некоторое положительноечисло. При выводе этой оценки были приняты во внимание вторые строчки соотношений (19.59), (19.60). Из первой строки условий (19.60) вытекает немедленно,

что многочлен Рп'[z ($)] должен, прежде всего, иметь нули в точ-

(р)

ках z (s*) при г = 1, 2, . . ., х3 (D). Кроме того, первый мно­ житель в числителе последней формулы в некоторой окрест­

ности каждой точки s* при г = х3 + 1, . Л , х3’ + х4 и $7при

г = хх - f 1» . . « 1 + ха в сделанных допущениях имеет положи­ тельную нижнююграньЛ1оскольку Ф“ е= Lp (С), то из сказанного

(19.55) и используя первое равенство (19.61), получаем для рас­

Из формулы (19.61) вытекает, что функция Z (z) имеет на беско-

(р)

нечности порядок [—х (D)1. Кроме того, она не обращается в пуль ни в одной конечной точке вне границы С, почти всюду удовлет­ воряет однородной краевой задаче (19.47) и, согласно включению (19.63), принадлежит классам Ep+t (б?±) при достаточно малом е > (X В указанных выше двух случаях все решения Ф (z) одно­ родной задачи (19.47) из классов Ер (G±) и с конечным порядком па бесконечности представимы по формуле (19.66), где Qm (z) — не­ который многочлен порядка т. Сказанное дает нам основание назвать, в соответствии с терминологией книги 129], функцию Z (z), определенную формулой (19.61), каноническим решением задачи (19.47) в классах Ev (G±). Ее порядок на бесконечности,

(р)

взятый с обратным знаком, т. е. число х (27), определенное по формуле (19.68), называется индексом задачи (19.47) (или (19.1)) в классах Ер ((?*). В общем случае это число зависит от р и явля-

В классических предположениях, как можно убедиться, оно не меняется при изменении р и может быть подсчитано, по формуле (19.7), а функция (19.61) совпадает с соответствующим¥каноническим решением (см. [29], § 34). Принимая во внимание, что реше­ ние Ф (z) должно иметь на бесконечности порядок, не превосхо­ дящий заданное число к, и исходя из общего представления всех решений из Ер(£±) с конечным порядком на бесконечности, зада­

Число решений I однородной задачи (19.47) в требуемом классе функций, как следует из формулы (19.66), равно т - f 1. Следо-

(iii)Все утверждения (ii), кроме включения (19.65), имеютместо

не зависит от р. Если граница С удовлетворяет условиям Ляпу­ нова, то из формул (19.61) и (19.10) на основании теоремы Прива­ лова (см. § 15) можно вывести, что каноническое решение (19.61) не обращается в пуль пи в одной конечной точке комплексной плос­ кости и удовлетворяет условию Гёльдера как в области G+ + С, так и в области G~ 4- С, возможно, с исключенной бесконечно удаленной точкой. Поскольку все решения однородной задачи содержатся в формуле (19.66), то эти же утверждения имеют место и для них. Анализ задачи (19.77) в предположениях теоремы 19.2 проводился в статье [17, д)], а также в работе [17, л)], § 7, для случая, когда С — единичная окружность. Дальнейшие обобще­ ния были получены в работах [18, 6)1, [42, а), в)].

В заключение заметим, что для случая, когда граница С удовлетворяет условиям Ляпунова, второе равенство (19.37) и изложенные выше способы изучения задачи (19.47) дают возмож­ ность осуществить полный ее анализ в более общих, чем (19.3), условиях, когда

|0(s)|= С,(s)П12 (s) z &) f'a’ П|<(«) — г(?) Г*'*”.

гг

где U0 (s) удовлетворяет условиям вида (19.3), а произвольные

последовательности {6*} удовлетворяют только условиям вида (19.30). Оставляя подробные выкладки читателю, отметим только, что на индекс вадачи в этом случае может оказывать влияние не только аргумент Q (s) функции D (s), но и ее модуль |D (s) |.

19.11. В настоящем пункте мы сохраним предположения тео­ ремы 19.2 о свойствах границы С и об условиях на модуль функции

D. Что же касается аргумента этой функции, то допустим, что он представим по формуле (19.6), в которой отсутствует функция

скачков (s), а число h(0°\ определенное по формуле (19.19), равно 2яx(D), где ч (D) — целое число. Функция Zx (z), построен­ ная по формуле (19.10), имеет граничные значения (19.46). Пер­ вый множитель правой части этой формулы удовлетворяет условию (19.38), второй — включению (19.40), третий же обладает свойст­ вами (19.42), если имеют место условия (19.17). Рассмотрим теперь функцию

I iel ЙАДЛЧА л и н е й н о г о с о п р я ж е н и й 215

Из этой формулы и из только что перечисленных свойств отдельных сомножителей формулы (19.46) вытекают включения

Z « , Z - 1(2)e £ p „ (G ±); Z (z),Z -»(2 )e Яр'+е (б*), (19.74)

если е — достаточно малое положительное число. Рассуждения п. 19.10 убеждают пас, что и в повых предположениях все решения краевой задачи (19.47) представимы по формуле (19.66), в которой Z (z) построена по формуле (19.73), а порядок т многочлена Qm(z) удовлетворяет условию вида (19.69) с повым определением числа к (D).

Т е о р е м а 19.3. Предположим, что 1) граница С является либо произвольной кривой Ляпунова, либо кривой Радона без точек заострения', 2) модуль функции D (s) удовлетворяет условиям (19.3); 3) аргумент й (s) функции D (s) представйм по формуле (19.6), в которой отсутствует функция скачков йх (а), й 0 ($)— произвольная непрерывная на [О, S] функция, a fl2 (s) — произволь­ ная измеримая на [О, S] функция, удовлетворяющая условиям

и (19.75), обладаетсвойствами (19.74), почти всюду удовлетворяет условию (19.47), пи в одной конечной точке z С не обращается

внуль и имеет на бесконечности порядок [—к (D)i.

(и)Все решения Ф задачи (19.47) из классов Ер (б±) и с конеч­ ным порядком на бесконечности представимы по формуле вида (19.66), в которой Z (z) построена по формуле (19.73), a Qm(z) —

некоторый многочлен.

(Ш) Пусть I — числолинейно-независимых над полем комплекс­ ных чисел решений задачи (19.47), принадлеокащих классам Ер (б£) и имеющих на бесконечности порядок, не превосходящий заданное число 1с. Тогда

l = 0, если х (D) -f /с < 0,

(19.76)

l = х (D) + k + 1, если x (D) + 1c> 0.

Функция (19.73) в условиях этой теоремы является канони­ ческим решением задачи (19.47) в классахЕр (б±), а число (19.75) —

индексом этойже задачи в Ер (б±). Для кривой Ляпунова теорема установлена в работах [38, б), г)], обобщения на случай кривых Радона без точек заострения получены в статье [42, а)].

19.12. Перейдем сейчас к исследованию пеодпородной задачи (19.1). Обозначим через Z (z) некоторое решение соответствующей однородной задачи (19.47) (D (s) == D [z (s)]), удовлетворяющее

§ 13] ЗЛДЛЧЛ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ т

всюду. Из уравпепия (19.79) следует, что функция (19.78) пред­ ставляет некоторое частное решение неоднородной задачи (19.1). Нам остается исследовать два вопроса: а) когда функция (19.78)

задачи (19.47), построенное по формуле (19.10), (19.61). Как от­ мечалось в утверждении (И) упомянутой теоремы, в «устойчивом случае», когда имеют место условия (19.64), эта функция удовлет­ воряет включениям (19.63), (19.65). Если учесть еще условия (19.3), то из (19.47) получим также включения

следнее соотношение показывает, что включение (19.77) при не­ котором ро > 1 имеет место для любой функции g (а) из прост­ ранства Lp (С), р > 1. Из утверждений типа леммы 16.2 вытекает, что как для кривой Радона без точек заострения, так и для кривой Ляпупова интеграл в формуле (19.78) представляет некоторую функцию классов ЕРо(G±), р0> 1. Поскольку Z (z) е Ерн (6?±), то и вся функция (19.78) принадлежит классам Еь (<г±) с некоторым

Как вытекает из формул (19.79), эти свойства определяются свой­ ствами оператора

Согласно тождеству (19.47) и формуле (19.62), последовательно получим

на плотность g ($) необходимы и достаточны для того, чтобы по­ рядок функций (19.78) на бесконечности не превосходил числа к.

Т е о р е м а 19.4. Сохраним все предположения и обозначения, сформулированные в начале теоремы 19.2. Кроме того, допустим, что имеют место условия (19.64), и будем рассматривать задачу (19.1) в классе функций Ф (z), принадлежащих пространствам Ер (G±) и имеющих па бесконечности порядок, не превосходящий заданное число к. Тогда

(р)

(i) Если х (D) + к + 1 > 0, то неоднородная задача (19.1) разрешима при любой правой части g (s) = g [z (s)] из простран­ ства LP(C), p J> 1. Формула (19.78) представляет одно частное решение этой задачи.

(р)

(ii) Если к (D) + /с -f 1 < 0, то для разрешимости неодно­ родной задачи (19.1) необходимо и достаточно, чтобы ее свободный член g, принадлежащий пространству Lp (С), удовлетворял ус­ ловиям (19.84). И в этом случае решение задачи может быть пред­ ставлено по формуле (19.78).

В принятых предположениях полный анализ задачи (19.1) содержится в утверждении (ii) теоремы 19.2 и теореме 19.4.

19.14. В условиях теоремы 19.3 в качестве функции Z (z), фигурирующей в формуле (19.78), возьмем каноническое решение однородной задачи (19.47), построенное по формулам (19.73), (19.10). Включения (19.74) обеспечивают существование интеграла

в (19.78) и принадлежность функции Ф0 (z) к некоторым классам

вида (19.15), (19.17). Как вытекает из рассуждений, изложенных

где функция |Z+ [z (s)] |определена по формуле (19.85), a pj ($) — функция, построенная по формуле (16.27) с заменой © (s) на йа ($). Из теоремы 16.2, в случае кривой Ляпунова, и из теоремы 16.4,

вслучае кривой Радона без точек заострения, вытекает, что опера­ тор (19.81) ограничен в Lv (С). Второй из вопросов, поставленных

вконце п. 19.12, рассматривается так же, как и в п. 19.13.

член g, принадлежащий пространству Lp (С), удовлетворял усло­ виям вида (19.84), где Z (z) построена по формулам (19.73), (19.10). И в этом случае решение задачи может быть представлено по формуле (19.78).

Чтобы получить полный анализ задачи (19.1) в условиях тео­ ремы 19.3, нужно объединить утверждепие теорем 19.3 и 19.5.

19.15. Предположим, что граница С удовлетворяет условиям Ляпунова, а коэффициенты D, g граничного условия (19.1) удов­ летворяют условию Гёльдера. Как отмечалось, каноническое реше­

ние Z, а с ним и все решения однородной задачи тоже удовлетворяют этому условию. В силу тех же причин указанными свойствами обладает и функция (19.78), следовательно, этот вывод распро­ страняется и на решения неоднородной задачи. Результаты насто­ ящего параграфа представляют в этом случае классический фонд теории, и, как отмечалось, читатель может найти их полное изложе­ ние в книгах [29], [10, е)].

Весьма полный обзор работ, посвященных обсуждаемому в на­ стоящем параграфе кругу вопросов и выполненных до 1957 г., содержится в [28, в)]. Укажем здесь только на некоторые работы последнего времени, в которых основы теории строились при более общих предположениях.

Задача (19.1) тесным образом связана с общей теорией сингу­ лярных интегральных уравнений. Полный анализ задачи дает воз­ можность построить теорию упомянутых уравнений и в класси­ ческих предположениях на контур С и коэффициенты условия (19.1), а также в случае, когда С — кусочно-ляпуновская или со­ держит раэомкнутые дуги, а коэффициенты допускают конечное число разрывов первого рода, соответствующий раздел теории впервые был изложен в книге [29]. Каждое продвижение в теории граничной задачи (19.1) приводит к обобщениям в теории сингу­ лярных интегральных уравнений и наоборот. Применению ре­ зультатов настоящего параграфа, в принятых здесь предположе­ ниях, к теории сингулярных интегральных уравнений посвящеп § 21. Первой работой, посвященной обоснованию теории в случае непрерывных (не обязательно в смысле Гёльдера) коэффициентов, была статья [28, а)]. В ней показано, что основные теоремы в тео­