книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

§ 7] ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И ПОЛНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ

совпадают с функциями / (*), g (х) соответственно. Поэтому Пре­ дыдущее неравенство для функции (6.14) дает

щие условиям (6.11). Снова ссылаясь на формулу (6.6), получаем

IcVIU.v<M1||/Il/eiI1.

Вспомним теперь, что к = к\ lk2y u = u* 1и£. Учитывая также

смысл операторов Uz, V, V , перепишем предыдущее неравенство в виде

Переходя к пределу при е —»-0, придем к неравенству, экви­ валентному (6.10). Теорема 6.2 доказана.

Случай теоремы 6.2, когда кг = к2 = 1 , щ = и2 = 1 , соот­ ветствует теореме М. Рисса. При более частных предположениях теорема 6.2 была установлена в работе [24].

§7. Об ограниченности н полной непрерывности некоторых интегральных операторов

7.1. Пусть оператор U действует из одного линейного норми­ рованного пространства В{ в другое такое же пространство В2. Если каждое ограниченное в Вх множество преобразуется опе­ ратором U в компактное множество, то оператор U называется компактным. В частности, единичная сфера пространства В\ отображается компактным оператором U в компактное множест­

во, и так как это последнее, очевидно, ограничено, то

sup ||£fo||< + оо. М=х

Если при атом дополнительно предположить, что оператор U аддитивен, то он окажется ограниченным, а следовательно п не­ прерывным. Аддитивные компактные операторы называются вполне непрерывными.

ции a (s).

В самом деле, в этом случае существует последовательность непрерывно дифференцируемых функций лп (s), равномерно на [я, Ъ] сходящихся к функции а (а). Обозначая через Кп оператор, отвечающий, согласно (7.2), функции ап (s), получаем

(А'п - К0) ф (s) = К (s) - a (s)] ■- jj Ф (a) da. (7.4)

Обозначим через Ap норму оператора (7.3) в Lp (a, b); тогда из (7.4) легко получим

fl (Кп— А 0)'Ф||ь_(я. ь) < '2 0<S<I>шах |otn(*) — a (s) |Ар|ф|L <а, ь),

V

откуда следует, что ||АП— Кй\-> 0 при п -»-0. Как отмечено вы­ ше, оператор Кп вполне непрерывен при любом п. Тем самым до­ казано следующее утверждение:

$|Я„ФП(* )| « & > 6 > 0 .

еп

В силу полной непрерывности оператора К9последовательность фп (s) = /^офп (s) можно считать сходящейся (в смысле метрики Lq (а, b)) к некоторому элементу ф (s) £Е Lq (a, b). Тогда, соглас­ но неравенству Минковского, имеем

второе слагаемое стремится к нулю при п -> оо в силу условия mes еп->-0 и абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Прихо­ дим к противоречию с предыдущим неравенством, что и доказывает равенство (7.8). Это равенство означает, что вполне непре­ рывный оператор преобразует ограниченное в Lp (a, b) множе­ ство в множество функций с равностепенно абсолютно непрерыв­ ными нормами в Lq (а, Ь). Второв необходимое условие полной непрерывности оператора К0 означает компактность относи­ тельно сходимости почти всюду, каждое ограниченное множество отображается оператором К 0в множество, из которого можно вы­ делить последовательность, сходящуюся почти для всех $ €Е [а, 61. Чтобы получить такую последовательность, достаточно в соответ­ ствии с полной непрерывностью оператора выделить последова­ тельность, сходящуюся в смысле метрики Lp (а, 6), и поскольку такая последовательность, очевидно, сходится и по мере, соглас­ но теореме Ф. Рисса, из пев можно выделить подпоследователь­ ность, сходящуюся почти всюду (см., например, [15], гл. IV, § 3).

Обратно, как следует из теоремы Витали (см. там же, гл. VI, § 3) о предельном переходе под знаком интеграла, каждый опе­ ратор, преобразующий ограниченное множество из Lp в компакт­ ное относительно сходимости почти всюду множество функций с

равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Lq, является

вполне непрерывным оператором.

Предположим теперь, что К — «-регулярный интегральный оператор, а К0 — мажорирующий его оператор вида (7.2). Соглас­ но лемме 7.1, оператор К0 вполне непрерывен, если функция а (,?) непрерывна, а в силу вышесказанного

Следовательно, для доказательства полной непрерывности опера­ тора К достаточно установить его компактность относительно сходимости почти всюду. Покажем сейчас, что этим последним свойством обладает каждый (^регулярныйинтегральный оператор.

7.5. Как уже отмечалось, сингулярный интеграл (7.7) для лю­ бой ф е Lr, 1 р оо, почти всюду существует и конечен. В частности, почти всюду конечна функция

(7.9)

Обозначим через Е множество точек s GE [а, Ь\, где © (s) Ф ± оо. Исходя из определения (7.7), легко установить формулу

s е Е значение интеграла (7.5) тоже конечно. Следовательно, формула Fa(ф) == Кар (s) при каждом S G £ определяет некото­ рый функционал в пространстве Ь„. Аддитивность и однородность этого функционала очевидны, а его непрерывность вытекает из оценки

Покажем сейчас, что множество функционалов {F8}t s €= Е, се­ парабельно в сопряженном пространстве zLДля этого убедимся, что {^«} содержится в замыкании множества линейных функцио­ налов, порождаемых в А» функциями из Lx (а, Ь).

Пусть

Кс (s, а) = К (s, о), если |а — s\ > е,

И

Kt (s, о) = 0, если |s — а | < е.

Учитывая оценку (7.6), убеждаемся, что функция Кг (s, о) огра­ ничена, следовательно, принадлежит Lx (а, Ь). Порождаемый ею функционал

ь

Ft, л(Ф) = $ (s, о) ф (о) da

принадлежит Д»; кроме того,

при в -v 0 в смысле метрики ZrL. Поскольку пространство Lx(a, b) сепарабельно, то сепарабельным будет и семейство функционалов {Fs}, sf= E . Используя диагональный процесс, легко установить, что пространство £ « является Т^-слабо компактным: иэ каждой сферы пространства La, можно извлечь последовательность ф„, на которой сходится числовая последовательность Fs(ф„) при любом s. Иными словами, при почти всех s (Е la, Ыпоследователь­ ность

ь

солютно непрерывные нормы в Lv, то оператор К вполне непре­ рывен..

Л е м м а 7.3. Каждый ос-регулярный оператор действует из Loo (a, Ь) в Lp (a, 6), 1 p < oo, и вполне непрерывен.

7.6.Согласно лемме 7.2 каждый a-регулярный оператор дей­

непрерывен сопряженный к К оператор К*, действующий из

в которой интеграл понимается как предел вида (7.5) (в случае ограниченных ядер К (s, о) эта формула, как известно, справедли­ ва). Поскольку ядро K0(s, о), фигурирующее в оценке (7.6), сим­ метрично, то интеграл в (7.13) почти для всех s е= 1а, 5] сущест­ вует н конечен одновременно с интегралом (7.5) и непрерывен как оператор в Lp (a, b), 1 < р < оо. Учитывая общий вид функцио­ нала в Ьр (а, Ъ), 1 <^р <С °о (см., например, [9], гл. VI, § 2), и оп­ ределение сопряженного оператора (там же, гл. IX, § 3) К* ф (ф) = = ф (Хф), достаточно установить равенство

ьь

ф (£ф) = Jф ф Хф (s) ds = J ф(s) Г*ф (s) ds = К*ф(ф). (7.14)

аа

Заменим в (7.14) оператор К, порожденный ядром К (s, а), опе­ ратором Kt, порожденным (ограниченным) ядром Кг (s, а) (см. выше, п. 7.5). Для функций ф, ф из L«, (а, Ь) равенство (7.14) в этом случае есть простое следствие теоремы Фубини:

$ф(5)Кеф (s)ds = jjф(s)К\ф (s)ds.

аа

ряженный оператор К* и оператор, определенный интегралом

Я^ р/(р — 1). Это доказывает формулу (7.13) и в интересующем нас случае, и в случае, когда К рассматривается как оператор в Lp (a, b), 1 < р <С_ оо. Вспоминая лемму 7.3, приходим к ут­ верждению:

Lq (а, Ь) в Lp (а, &), есть снова a-регулярный оператор, определен­ ный интегралом (7.13). В случае 1 < р < оо каждый а-регу­ лярный оператор действует из Lp (а, Ь) в Lx (а, Ъ) и вполне непрерывен.

Второе утверждение вытекает из первого утверждения, лем­

свойством компактности относительно сходимости почти всюду (см. п. 7.4). Если, кроме того, функция а (а) из оценки (7.7) непре­ рывна, то в силу сказанного в конце п 7.4 оператор (7.1) вполне

непрерывен.

Т е о р е м а 7.1. Пусть К — а-регулярный интегральный оператор (7.1), и пусть функция a (s) из оценки (7.7) непрерывна на [а, 6]. Тогда оператор К действует в пространстве Lp (а, Ь) при 1 < р < оо и вполне непрерывен.

Для общих регулярных операторов с вполне непрерывными мажорантами аналогичное утверждение имеется в книге [101, гл. 2, § 5.

§8. Упражнения и дополнительные замечания к гл. II

8.1.Сопряженный оператор U* : B%-*■ В\ Хаусдорф называет нормаль­ но разрешимым, если уравнение U*f = g разрешимо тогда п только тогда,

менить первопачальное определение. В общем же случае определение Хаусдорфа накладывает па оператор U* более жесткпе ограничения: в силу того,

что Вх есть правильная часть В\ , множество N (V) есть, вообще говоря, правильная часть N (U**), и требование, чтобы g исчезало только на N (U), а но на всем AT (U**), расширяет множество тех g, для которых уравнение U*f = g разрешимо, т. е. сужает множество операторов U*. При таком понимании нормальной разрешимости сопряжспного оператора имеет место утверждение: оператор U нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешимым является ему сопряженный оператор (см. [23], стр. 290). Это позволяет, в частности, сохранить утверждение теоремы 5.1, даже если условия (5.3), (5.4) заменить аналогичными условиями на сопря­ женный оператор (см. [17]). Аналогичное утверждение имеет место и по отношению к теореме 5.2 (см. [1]).

ЙЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. II

8.2. Рассмотрим сннгулярыос интегральное уравнение

( 8 . 1 )

Если (спрямляемая) кривая Г удовлетворяет некоторому дополнительному условию (например, является кривой Ляпунова пли Радона), то оператор

банахово пространство называется факторпространстоом). Легко убедить­ ся, что оператор О, индуцированный оператором U, непрерывен и взаимно однозначно отображает BJN (С/) на Rv = U (Bj). Если возникающий при

этом обратный оператор и -1, отображающий R u на B jN (U), тоже пепре-