книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

Как и в л. 16.10, дополним дугу Cj до замкнутой кривой Cj так, чтобы гладкость Cj нарушалась только во внутренних точках дуги Cj и чтобы Cj удовлетворяла условиям Радона. Поскольку максимальный скачок угла наклопа касательной к Cj при доста­ точно большом п можпо сделать сколь угодно малым, то в силу

чение оператора Кг,г+1 к случаю уже рассмотренных диагональных операторов. Остальные операторы Ки изучаются еще более просто.

пряженных показателей р, р', следовательно, оператор (16.31) ограничен не только в пространстве Lp (С), но и в сопряженном пространстве Ьр>(С). Ниже мы рассмотрим случай плотностей ш (а), имеющих ограниченную вариацию, и докажем аналоги тео­ рем 16.2, 16.4 в условиях, не симметричных относительно р, р’.

Будем предполагать, что С — либо кривая Ляпунова, либо кривая Радона без точек заострения. Пусть z0— некоторая внут­

Ь Ш ф у С, = 5|2(в)-г.|»|Я/(«)|'Л><

В силу теорем 16.2, 46.4 нам достаточно изучить последний опера­

меняли последнему множителю полученного неравенства известные результаты о композиции интегралов со слабой особенностью, по­

упомянутого результата получаем ограниченность выражения, стоящего в последнем интеграле множителем при |g (s) р. Сле­ довательно,

s

Lg 11ьР(Рр: С) = $ И ° ) - 2°1Р11'£(б) Г £г<3<

о

^ ^ Ik|ьр(С) = L 1 / |)Lp(PjJ;С)1 L = const.

Сопоставляя этот результат с неравенством (16.41), получаем

и вопрос снова приводится к оценке второго слагаемого справа.

Проинтегрируем это неравенство, принимая во внимание, что alp' + е (р — 1) < 1 при достаточно малом е > 0, и, кроме того, е (р — 1) + a /p '+ v > 1. После несложных преобразований получим

154 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ [ГЛ. rv

Рассмотрим теперь две системы различных (внутренних) на

С точек: {4}» А = 1, 2, . . ., щ {zk}, А = 1, 2, . . т, и по­ строим вес

дI . W - . I I ’**'"

n i 'W - 's l ’ **'”

где {Лк}, {Лк} — некоторые системы положительных чиселКаждый из сомножителей в этой фомуле будет удовлетворять условиям вида (16.40), если

Множество точек разрыва функции ограниченной вариации ю (s) не более чем счетно, следовательно, ее ^-периодическое про­ должение можно считать непрерывным в точках s = 0 (mod S).

Пусть Zk = z (4), zj[ = z (sjc) — множества точек на С, в кото­ рых о (s) имеет положительные или отрицательные скачки соот­

ветственно, и пусть Лк, Лк — абсолютные значения этих скачков. Как отмечалось в § 1, ряды с общими членами Л£ сходятся:

а функция о (в) может быть представлена в виде суммы о>0 (в) -\- + taxis), где ю0 (s) — непрерывная на [0, 5] (но, вообще говоря,

не .S'-лериодическая) функция, а и>х (а) — функция скачков вида (1.3). Введем также обозначение А<°> = ш0 (S — 0) — ш0 ( + 0). Как будет показано в гл. V, бесконечные произведения

(‘ 6.47)

к

сходятся почти всюду на сегменте [0, iS1], лишь только выполнены условия (16.46). Больше того, будет показано, что l/p±(s) принад­ лежат некоторым пространствам LT(0, S), причем г->-оо при

в правой части этой формулы. В п. 19.8 будет установлено, что

Uf1(<з) суммируема на сегменте [0, 5] с любым конечным показа­ телем.

Допустим теперь, что показатели произведений (16.47) удовлет­

оказалось, что наряду с условиями (16.49) выполняются также условия

h+j2n < 1 /р' , h~k/2n < 1 Ip,

как это имеет место в случае р = 2, или когда А* достаточно малы, то ограниченность сингулярного оператора К в пространствах Lp с весом (16.48) вытекала бы из теорем 16.2, 16.4. В самом деле, эти условия означали бы, что локальные колебания функции ю (s) не превосходили бы max (2п/р, 2п/рг), и тогда функцию со (s) можно было бы представить в виде суммы ©2 ($) + w3 (s), где Юз (s) — непрерывная в смысле Гёльдера и ^-периодическая функ­ ция, а ю2 (а) удовлетворяет условиям (16.15), (16.17) (см. и. 16.1).

достаточно мало. Считая / (s) ^-периодической и пользуясь уже доказанной непрерывностью функции Tf (а), установите оценку

уточняющую (14.7) и доказывающую, что число (17.1) является верхней гранью оператора (14.8) в пространстве непрерывных функций. Убедитесь также, что в случае выпуклых кривых число (17.1) равно единице и совпа­ дает с нормой оператора Радона.

17.2. Радоном (см. [22], гл. II, п. 5) была также установлена формула для радиуса Фредгольма оператора (14.8) в пространстве непрерывных функций. Оператор Т оп представляет в виде суммы операторов

где е — некоторое достаточно малое положительное число, а С (а, е) — мень­ шая часть кривой С, заключенная между точками г (а — г), г (о 4- е). Ис­ пользуя формулу (14.12), покажите, что при любом е > 0 оператор V впол­ не непрерывен в пространстве непрерывных функций на С. Чтобы оценить норму оператора Tt, установите сначала неравенство

любого порядка с произвольным числом независимых переменных к интег­ ральным уравнениям, были получены аналоги оператора (14.8) — обобщен­ ные потенциалы двойного слоя, ядра которых пмеют вид

n=sre(*»- -р=!т); <17.2)

здесь * = (*!, х2, . . хп), у «= {уи . . ., уп), \х — у |— расстояние между точками х, у, v (г), v (у) — единичные векторы внутренней к грапицс нормали в точках х, у соответственно, G — квадратная матрица, определенная и непре­ рывная, когда х, у лежат на границе, и удовлетворяющая условию

G(x, у, 6, л, £) = 0 ( 1 ( 1 . 01 + 1(Л. 0 1). 1 1 1 = 1л1 = К 1 = + (17.3)

В случае, когда грапица удовлетворяет условиям Ляпунова, ядро (17.2) имеет слабую полярную особенность, следовательно, соответствующие урав­ нения являются фредгольмовымп.

В работе (15, б)] были рассмотрены аналогичные задачи в плоских об­ ластях, границы С которых имеют конечное число угловых точек, отличных от точек заострения. Из-за нпх особенность ядра (17.2) перестает быть слабой и соответствующий оператор G теряет свойство полпой пспрерывпости. Болое углубленное исследование показало, что во взвешенных пространствах

. L (ре, С), где 1/ре (*) = min |г (*) - в; Iе, 0 < е < 1, ait i = 1,2, ,. . . , п, —

угловые точки кривой С, этот оператор ограничен, а оператор / — G далее является Ф-оператором (см. п. 8.4). «Главная часть» этого оператора сво­ дится к некоторым операторам типа свертки по полуоси, что позволило вы­ писать явную формулу для индекса. В работе [19] этп исследования обобщены на случай произвольной кривой ограниченного вращеппя без точек заостре­

Используя формулу (17.3), убедитесь, что ядро (17.2) допускает оцепку вида (14.15), если кривая С не имеет точек заострения. Следовательно, тео­ ремы 14,3, 16.3 имеют место и для операторов G с ядрами (17.2) в рассматри­

где o z (от) — та же функция, что и в формуле (14.1). Покажите, прежде всего, что имеет место аналог формулы (14.9):

Выведите отсюда, что функция (17.4), после соответствующего доопределения

на С, непрерывна в замкнутых областях <7* + С, какова бы ни была непре­ рывная на С функция / (s). Затем, предполагая, что А (0) = 0 и х + А (х) < я при 0 < х < я, и обобщая рассуждения пн. 17.1—17.2, покажите, что ра­ диус Фредгольма интегрального оператора в формуле (17.5) не меньше числа

я

®max + I ^ (®тах) I