книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

рии сингулярных интегральных уравнений, так называемые тео­ ремы Ф. Нётора (см. § 21), сохраняют силу и в том случае, когда коэффициенты главной части уравнения непрерывны, а свободный член принадлежит пространству Ь2 (С). Позже в работе [13, б)] был дан анализ однородной краевой задачи в тех же предположениях. Почти одновременно с этой последней работой появились иссле­ дования [40, д)], [20, а)] и [38, а)], в которых дано полное иссле­ дование изучаемой задачи в том случае, когда D (s) — непрерыв­ ная отличная от нуля на С функция, а свободный член g (s) принадлежит классу Lp (С). Важные обобщения теории получены

висследованиях, наиболее полное изложение которых содержится

в[40, г)]. И теория краевой задачи, и теория сингулярных интег­ ральных уравпепий были обоснованы в том случае, когда сво­ бодные члены принадлежат пространствам Lp (С), р > 1, осталь­ ные коэффициенты непрерывны, за исключением конечного числа точек разрывов первого рода, а С — кусочно-ляпуновская кривая.

Вдальнейших исследованиях можно выделить два этапа. В пер­ вом из пих расширялись предположения па коэффициенты краевой задачи и класс допустимых решений в классических предполо­ жениях на границу С. Так, в работах [38, б), в)] дан полный анализ задачи в условиях теоремы 19.3 и разработан оригинальный метод исследования (см. ниже, § 20). В работе [7] рассмотрен случай полуплоскости, причем дополнительно требуется, чтобы аргумент функции D имел только конечное число точек разрыва (первого рода). В работах [17, д), е)] исследования велись в предположе­ ниях теорем 19.1, 19.2.

Второй этап относится к попыткам построить теорию для более

общих классов граничных кривых С при сохранении только что указанных предположений относительно свойств коэффициентов граничного условия. В атом направлении удалось для кривых Радона без точек заострения последовательно установить огра­ ниченность сингулярного оператора с ‘ядром Коши в пространстве

(см. [18, б)]) во взвешенных пространствах Lp (р, С), встречаю­ щихся в теоремах 19.4, 19.5. На базе этих результатов был дан

§ 20. Теоретико-функцпопалышй метод

20.1. Простейшая неоднородная задача вида (19.1), так назы­ ваемая аадача о скачке, имеет вид

где ср — заданная, а Ф — искомая функция. В классе функций,

представимых В Виде интеграла типа Коши И Долезающих на бесконечности, задача (20.1) для любой <p е L (С) имеет единст­ венное решение

(20.2)

2ni J z(s)-

если только свойства границы С обеспечивают применимость фор­ мул Племеля — Сохоцкого (15.11'):

Основная идея теоретико-функционального метода состоит в том, чтобы и в общем случае задачи (19.1) попытаться построить решение в виде интеграла (20.2) с неизвестной плотностью ф. С этой целью в условие (19.1) вместо Ф подставим выражение, стоящее в правой части (20.3). Это приведет нас к соотношению

где D (s) ±=D [t (s)], g(s) = g [t (s)]. Оно представляет сингуляр­ ное интегральное уравнение относительно плотности ф, эквивалент­ ное в силу предыдущих формул краевой задаче (19.1) в упомя­ нутом классе функций. Случай D (s) = 1 соответствует задаче (20.1), и уравнение (20.4) дает ф (s) = g (s). Поскольку оператор над ф в правой части уравнения (20.4) ограничен, скажем, в про­ странствах Lp, то уравнение (20.4) однозначно разрешимо и в случае функций D, достаточно близких к 1. Открывающиеся при таком подходе возможности и составляют содержание настояще­

Поскольку |D |удовлетворяет условиям из первой строки (20.6), функции

ограничены на множествах’/?* как в случае кривой С, удовлет­ воряющей условию Ляпунова, так и в случав произвольной кривой С с ограниченным вращением (см. теорему 14.1). Чтобы изучить ту часть функции (20.8), которая зависит от Q2 (s), заме­ тим, что имеет место формула

то вместо первого интеграла в правой части (20.9) достаточно изу­ чить интеграл Шварца с той же плотностью t22:

2>t

*,« > = - Ц а»(в> > г | л’-

Функция й 2 (а) удовлетворяет, очевидно, условию вида (20.6), следовательно, из рассуждений п. 13.7 вытекает, что функции ехр {± ф (£)} принадлежат классам Я р+е, Я рЧе для достаточно малого числа е > 0. Отсюда и из ограниченности функции |се/ (£) I легко вывести, что функция X (z), построенная по фор­

В классе функций Ф (z) е Ер (G±), исчезающих на бесконечности, задача (20.11) имеет только нулевое решение.

Последнее утверждение вытекает из второго включения (20.10)

ирассуждений, изложенных в п. 19.9.

20.3.Пусть I = lp (D) — число линейно-независимых (над полем комплексных чисел) решений однородной задачи вида (20.11)

вклассах функций ift Ер(G±), исчезающих на бесконечности.

Из формул (19.72), (19.76) следует, что в условиях теорем 19.2, (ii),

(р)

и 19.3 это число совпадает с индексом х (D), если последний

ный член g неоднородной задачи (19.1), чтобы эта задача имела решение в том же классе функций. Из теорем 19.4, 19.5 вытекает,

что l'p(D)= —H(D), если индекс x(D) неположителен. Таким образом,

,(?)

в классе функций Ф Е= Е2(б±), исчезающих на бесконечности, всегда и однозначно разрешима при любой g е Ь2 (С).

Единственность решения задачи (20.12) вытекает из леммы[20.1 (при р=2), следовательно, нам остается установить раз­ решимость задачи (20.12). С этой целью рассмотрим число у, удов­ летворяющее условию (20.7), и переопределим компоненту иско­ мого решения Ф в области G~, разделив ее на у. Приходим к эквивалентной задаче:

к задаче (20.12') рассуждения из п. 20.1, мы сведем ее к эквивалент­

Применяя интегральную формулу Коши и формулы Сохоцкого — Племеля, легко убедимся, что в случае, когда С — единичная ок­ ружность, имеют место соотношения

Отсюда и из непрерывности сингулярного интегрального опера­

в Ьг (С0) равна единице, если С0 — единичная окружность. В этом случае оператор над <р, взятый в формуле (20.4') в квадратные скобки, имеет норму в Ь2 (С0), не превосходящую единицы. Тогда

8 И. И. Даннлюк

падают, как можно показать, используя теорему 10.6 и копформное отображение, с классами функций, представимых в виде ин­ теграла типа Коши с плотностями из пространства Lp (С). При­ меняя к функции (20.14) формулы .Сохоцкого — Племеля и учи­

в этой формуле ограничен в L%(С). В самом деле, из сказанного выше вытекает, что решение <р уравнения (20.47) как оператор над g ($) ограничено в L2 (С), и поскольку

Ф+ [*(s)J — Ф" [*(«)] = ф(*)>

то, в силу теоремы об ограниченности, в Ьг (С) сингулярного оператора К с ядром Коши вдоль кривой Ляпунова (см. конец п. 16.4), последовательно получаем

| ф *Ь ,< (4 -+ 1 *к .)| Л < (4 -+ 1 *ф | «Ь (20-16)

где А — норма оператора ,g-*~ Ф в Ьг. Теперь ограниченность оператора в (20.15) вытекает из (20.16) и из того, что этот оператор в силу (20.14) совпадает с функцией Ф+ [z (а)] — g (а)/2. Тем самым доказана теорема 16.2 для случая р = 2.

В общем случае эту теорему можно доказать, опираясь на тео­ рему 6.2. В самом деле, предположим, что р > 2 и что некоторая

функция % = 6© удовлетворяет только что рассмотренному случаю р = 2 . Иными словами, если в формуле (20.8) положить

Т ограничен в обычном пространстве Lq (С), каково бы пи было конечное число д е ( 1 ( оо) и кривая Ляпунова С. Теперь в тео­

228 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

Будем, далее, предполагать, что матрица D2 (t) удовлетворяет условию

Я0 >, 0, (20.22)

т. е. что первая матрица (20.20) является равномерно почти всюду положительно определенной. Отсюда, в частности, вытекает, что (априори неотрицательное) второе число (20.21) больше нуля.

Пусть Е — единичная матрица размера (п х п), у — число пжФ е 1 $ (С). Рассмотрим вектор-функцию Q = (Е — yD2) Ф и обозначим через hik, Hjk элементы матриц (20.20) соответствен­ но. Тогда

Предположим теперь, что число у положительно, и воспользуемся для оценок последних двух слагаемых в предыдущей формуле ба­ зисами, составленными из собственных векторов матриц (20.20). Учитывая, что переход к новым базисам осуществляется с помо­ щью унитарных матриц, легко получаем неравенство

Отсюда, прежде всего, следует, что квадратный многочлен / (у) =

—А0 0. Свое наименьшее значение этот многочлен принимает

вточке у0 > 0, причем

а первая матрица (20.20) является равномерно почти всюду поло- жительно определенной, т. е. удовлетворяется неравенство (20.22). Тогда имеет место оценка (20.25), в которой Я0, Л0 определены формулами (20.21), а у„ — второй формулой (20.24).

20.6. Предположим на время, что в разложении (20.19) пер­ вый и третий множители совпадают с единичной матрицей. Тогда задача (20.17), как показывают рассуждения пп. 20.1—20.3, сво­ дится к эквивалентному уравнению вида (20.4), в котором вместо у надо подставить второе число (20.24), а вместо/) ($) матрицу /)2 (t):

ф(0 = М > ! « ' - * ] [ — ГФ(<) +

Оператор (20.13), очевидно, является ограниченным и в простран­ ствах L£l) (С), 1 < р < оо, при п > 1. Используя неравенство (20.25), для нормы оператора А , определенного с помощью форму­ лы (20.26), получим следующую оценку:

1|Л||4 гг)(с) < (*-1 Г

Обозначим через С0 единичную окружность |t |= 1 и предполо­ жим, что правая часть неравенства (20.27) для С0 меньше еди­ ницы:

Это условие налагает взаимные ограничения только на матрицу D2 и число р, 1 < р < оо, но не на границу области С. Допу­ стим, что эта граница является кривой Ляпунова с показателем а. Пользуясь разложением оператора (20.13), указанным в кон­ це п. 20.3, представим оператор А из (20.26) в виде (t = t (а),

*о = t И )

Первое слагаемое в правой части (20.29) в силу условия (20.28)

представляет оператор сжатия в пространстве (С0). Из оцен­ ки вида (16.25) вытекает, что второе слагаемое в правой части (20.29) является вполне непрерывным оператором в том же про­ странстве (С0) (см., например, [21), гл. X, § 2). В соответ­ ствии с первым утверждением теоремы 5.1 оператор I — А из (20.26) является обобщенным оператором Фредгольма. Может также случиться, что правая часть оценки (20.27) меньше

уже для исходной кривой С. Тогда сам оператор А удовлетворяет

условию сжатия в (С), следовательно, уравнение (20.26) всегда и однозначно разрешимо в этом пространстве.

Неравенство (20.30) по сравнению с (20.28) является, вообще говоря, более ограничительным условием на матрицу D^. Зато оно позволяет рассмотреть более общий класс кривых С, пе обя­ зательно удовлетворяющих условиях Ляпунова. Граница С и число р должны удовлетворять условию, чтобы оператор (20.13) был непрерывен в Lp (С), в частности, это имеет место при 1 < <СР <С оо Для любой кривой Радона без точек заострения (тео­ рема 16.1). Условию (20.30) можно затем удовлетворить, выбирая 2?2 из класса матриц с достаточно малым первым множителем слева в (20.30).

Будем говорить, что вектор-функция Ф (z) принадлежит клас­

однородной задачи (20.17) из Ер, исчезающих на бесконечности. Поскольку задача (20.17) и уравнение (20.26) при D^ — D экви­ валентны, то ар (D) одновременно является числом линейно-не­

родная задача (20.17) в указанном классе функций и соответствую­

щее уравнение (20.26) в 1 $ (С) будут иметь решения тогда и толь­ ко тогда, когда свободный член g (t) удовлетворяет некоторому числу однородных условий. Обозначим через 0Р (D) число линей­ но-независимых (над тем же полем) функционалов, входящих во все эти условия.

Л е м м а 20.4. Предположим, что матрица Z)2, каждый эле­ мент которой является измеримой в существенном ограниченной

1 $ (С), 1 < р < °о, как в случае кривых Радона без точек за­ острения, а матрица D2 удовлетворяет условиям (20.22), (20.30),