книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

некоторой окрестности точки z (s) £Е С, расположены в секторе с вершиной в точке D = 0 с углом 2vn, v < 1. Из принципа Гейне— Бореля следует затем, что существует некоторое конечное покры­ тие кривой С интервалами, такое, что значения D (s) на каждом интервале помещаются в секторе указанного вида. Задавая зна­ чение arg D (0), двигая точку г (s) вдоль С и выбирая значения arg D (s) так, чтобы они не выходили за пределы раствора указан? пых выше секторов, получаем вполне определенную ветвь Q (s) функции Arg D (s). Когда точка z (s) один раз обойдет кривую С в положительном направлении, ветвь Q (s) получает приращение 2ях (Z>), где х (D) — целое число. Это число называется в этом случае индексом функции D или условия (19.1). В многосвязном случае указанные построения проводятся для каждой граничной компоненты Ct в отдельности, причем индекс в этом случае равен сумме чисел xt (D), полученных па отдельных кривых Ct. После этого нетрудно построить непрерывную функцию Й0 (s) так, чтобы ее индекс совпадал с только что полученным числом х (D), а раз­ ность Q2 (s) = Q (S) — Q0 (s) не превосходила числа vn (см. [38, г)], § 1). Заметим, что число v в условии на fi2 (s) зависит от

ность. Позже было установлено (см. [17, л)], что с той же пример­ но степенью полноты задача (19.1) может быть изучена и при наличии последнего слагаемого в разложении (19.6). Обобщения этих результатов на случай общих кривых Ляпунова и Радона были получены затем в работах Г18, 6)1, Г42, а), б)]. Дополнительные замечания библиографического характера будут приведены ниже

Последнее наше предположение относится к свободному члену g условия (19.1):

III.Отнесенная к параметру s функция g измерима и принад­

лежит некоторому пространству Lp (С), 1 < р < оо.

^19.3. Если функции D, g, определяющие граничное условие

(19.1) , удовлетворяют только соответствующим условиям I, II, III, то яспо, что и класс функций Ф (z), в котором разыскиваются решения, должен быть достаточно широким. Первое естественное требование состоит в том, что граничные значения Ф± существуют только почти всюду и только почти всюду удовлетворяется условие (19.1) . На граничные условия Ф± естественно наложить ограни­ чения и метрического характера, требуя, например, чтобы они принадлежали некоторым пространствам Lp± (С). В окрестности бесконечно удаленной точки Ф (z) можно разложить в ряд Ло­

рана

к

Под порядком функции Ф (z) в бесконечно удаленной точке будем понимать наибольшее число п = к в указанном разложении, для которого. ап Ф 0. В случае к > 0 функция Ф (z) имеет, таким образом, полюс порядка к, в случав к = 0 — она ограничена и отлична от нуля в точке z = оо, в случае же к < 0 — имеет нуль порядка (— к). Всякий раз будем предполагать, что функция

Ф(z) имеет. на бесконечности конечный порядок /с.

/Однако и всех перечисленных требований недостаточно для

того, чтобы сохранить некоторые наиболее существенные черты задачи (19.1) в классических предположениях, например конеч­ ность числа линейно-независимых решений однородной задачи

ция определена и аналитична в каждой точке z Ф 1 замкнутой комплексной плоскости, а в точке z = 1 имеет существенно особую точку. В каждой точке единичной окружности С, за исключением

точки z = 1, граничные значения Фг существуют и даются фор­ мулой Ф* (е<4) = exp id ctg s/2. Условие (19.9). удовлетворяется,

таким образом, всюду на С, кроме точки z = 1, а Ф* принадле­ жат, очевидно, Lp (С) при любом р 0. Мы получаем, следо­ вательно, целое семейство оо1 линейно-независимых решений задачи (19.9), удовлетворяюпщх перечисленным в начале этого пункта требованиям.

формуле (19.10), принадлежитпространствам Е$ (Gfy при некото­ ром достаточно малом 6 0; кроме того, удовлетворяется од­ нородное условие (19.12).

19.5. Дальнейшие свойства функции Zx (z), построенной но формуле (19.10), мы получим, опираясь па теорему 11.6, примени­ мую, как вытекает ив следствия 11.1 и сказанного в конце п. 11.3,

кобластям, ограниченным кривыми Радона и Ляпунова. Относительно первого множителя в разложении (19.10) (в

дополнение к тому, что было сказано о нем выше) заметим еще следующее: если С — кривая Ляпунова, а функция D (s) удовлет­ воряет условиям (19.2), то имеют место включения

Z? (г)6= Е,„ (в♦), г?' (г)е= Ег (€Г>,

Первое из этих включений доказано памп выше, остальные дока­ зываются аналогично.

Для более детального изучения второго множителя в (19.10), представим его, в соответствии с формулой (19.6), в виде

включения (19.18) при выполнении условий (19.17) устанавли­ ваются при помощи представления вида (19.14) на основании результатов п. 16.5.

летворяющую на сегменте [0, iS] условию Гёльдера с показателем

а = 1 и такую, что разность Йо* ($) = й 0 (s) — QQ (s) не превос­ ходит по абсолютному значению произвольное палеред заданное

при соответствующем выборе ветви логарифма. Йз следствия 15.3 вытекает, что интеграл в левой части (19.20) представляет непре­ рывную функцию в каждой замкнутой области, получающейся из G+ + С или G~ + С удалением круга |z — z (0) |< е с про­ извольно малым е > 0. Поскольку первые два слагаемых в правой части (19.20) непрерывны внутри упомянутого круга при под­

Ч0)

в левой части которого показатели сомножителей берутся с про тивоположными знаками.

Л е м м а 19.3. (i) Пусть С — произвольная кривая Радона или Ляпунова. Если коэффициент D (в) удовлетворяет условиям

(19.3), то функция (z), 1/Z^ (z) ограничены в каждой из облас­ тей G*. Если имеют место условия (19.2) и кривая С удовлетво­ ряет условиям Ляпунова, то справедливы включения (19.15).

(ii) Пусть С — произвольная кривая Ляпунова или кривая Радона без точек заострения. Если имеют место условия (19.17), то справедливы включения (19.18).

(iii) Пусть С — произвольная кривая Ляпунова ши Радона,

и пусть йо определена формулой (19.19). Тогда функция У® (z) удовлетворяет включению (19.21) для произвольного конечного q.

19.6. Нам осталось подробно изучить функцию 7^ (z), от­ вечающую функции скачков Qj (s) из разложения (19.6). G этой целью вычислим модуль ее граничных значений

Множество точек А С [О, *S], где не существует интеграл, входя­ щий в последнюю формулу, имеет меру пуль. Пусть а £ [0, £]\ .к, 0 < а < S. Рассмотрим интеграл

/ . W = ”51QlW Re7 5 i M _ r + 5 0 1(5)Цв7т| ^ 5 г , (19.23)

Оо+е

где е > 0 — достаточно малое число. Применяя формулу инте­ грирования по частям (см., например, [31], гл. VIII, § 6), получим

1 Q l(*)R eT (st-1 (о) = \ Qx(s)4.1n|*(s)-B(o)| = ^ ( 6 - 6 ) X

оо

а-£

X ln[ я(а — е)—z (о)| - Q i (0) In |z (0) — z (б) |— $ In |z(s)—z(o)|dQi(s),

Поскольку функция In |z (s) — z (a) |относительно переменной s непрерывна на сегментах [0, а — е], [a + е, «?], а — функция скачков, интегралы в правых частях формул (19.24) вычисляются (см. там же, гл. VIII, § 7):

но однозначное соответствие между этими множествами, считая, что точке shсоответствует число 6* с тем же номером. Без ограничения общности можем считать, что последовательность {бл} зануме­

Будем при этом полагать, что ряд с общим членом bh сходится:

аналогичное тому, которое встречается в формуле (19.29). Очевид­ но, всегда можно считать, что кривая С расположена внутри круга радиуса 1/2. Тогда последовательность частичных произ­ ведений

обращается в нуль в каждой точке s = sh. Тем не менее, покажем