книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

Естественно назвать его интегралом Коши, если все его нека­ сательные граничные значения Ф+ (I) изнутри С+ существуют и совпадают с f (t) почти всюду на С. Как вытекает из следствия 15.1 и формул (15.11), для этого необходимо и достаточно, чтобы предельные значения Ф~ (I) почти всюду па С существовали и бы­ ли равны нулю. Согласно теореме единственности Н. И. Лузина — И. И. Привалова (см., например, [21, б)], гл. IV, § 2), это усло­ вие эквивалентно тому, что интеграл (15.24) равен нулю в обла­ сти G~, т. е. что

оп с

Согласно теореме 15.4, функция Ф (z) представима в области G+ интегралом Коши по своим граничным значениям Ф+ (/).

Обратно, предположим, что некоторая аналитическая функ­ ция Ф (г) имеет суммируемые на С пекасательные граничные зна­ чения Ф+(0 и представима по ним интегралом Коши. Согласно теореме 15.4, эти граничные значения удовлетворяют условиям (15.27). Как известно, существует последовательность многочле­ нов {Рк,п (z)}, которая при п —*• оо равномерно сходится к ана­ литической внутри G* п непрерывной на G* + С функции [й (z)]k, к -- О, 1, 2, . . . (см., например, [25], стр. 53). Отсюда и из ус­ ловий (15.27), отнесенных к единичной окружности |С |= 1, получаем

5 «♦[«•(В]®'(»£ * « =

К1=х

Следовательно, согласно теореме 15.4 функция Y (Q = Ф[о(С)]©'(С) принадлежит классу Ни так что Ф (z) принадлежит E1(G*'). Мы

получили, таким образом, утверждение, обобщающее теорему 10.6. Т е о р е м а 15.5. Пусть С — произвольная замкнутая спрям­ ляемая кривая Жордана, ограничивающая конечную область G+. Класс функций £ 1(G+) совпадает с совокупнотъю функций, анали­ тических внутри G+ и представимых через свои некасательные

граничные значения на С интегралом Коши.

При доказательстве этой теоремы мы следовали книге [21, б)], гл. III.

§16. Сипгулярный интеграл как оператор в пространствахIjp

16.1.Пусть G+ — односвязная область, граница которой С является кривой ограниченного вращения. Будем считать, что начало координат z = 0 находится внутри G+, а точка z (0) = z(S) является точкой гладкости кривой С. Рассмотрим определенную

на сегменте [0, £] функцию ф (s) = 0(a) — ©„(а), где 0 (а) — угол наклона касательной к С отпосительпо оси х, a ©„(а) — угловая

функция wz(s) = arg [z(a) — z], отвечающая точке z = 0. В кон­ це § 3 было отмечено, что 0 (а) при обходе кривой С в положи­ тельном направлении приобретает приращение 2л, следователь­

продолжения на все вещественные о, в каждой точке а имеет

сколь угодно малое число, а /гтах — наибольший по абсолютному значению скачок функции 0 (5 ). Построим функцию

— - s S v<eH £ = i * '

о

аналитическую внутри круга. Из результатов § 15 нетрудно вы­

торой С имеет ограниченное вращение и лишена точек заострения. Тогда для любого достаточно малого е > 0 существует однознач­ ная аналитическая внутри G+ и непрерывная на множестве G+ + С функция F0(z), для которой имеет место соотношение (16.1).

16.2.Исходя из функции F0(z), о которой идет речь в лемме

16.1, построим весовую функцию F (z) = exp iF0(z) (см. п. 12.1). Эта функция удовлетворяет условиям (12.8), (12.13) в силу неп­ рерывности F0(z) в замкнутой области G* + С, а условие (12.9) вытекает из неравенства (16.1). В качестве функции Ф (z), фигу­ рировавшей в § 12, возьмем интеграл типа Коши

(16.2)

Предположим сначала, что плотность / (f) удовлетворяет усло­ вию Гёльдера с показателем а = 1. Согласно следствию 15.3, по­ лучим тогда, что функция (16.2) непрерывна в замкнутой области

G* ~г С, следовательно, выполнено условие второго утверждения следствия 15.1. Поэтому имеют место формулы (15.11'). Чтобы изучить ограниченность оператора (16.2) п р и гб С в пространствах LP{C), будем предполагать плотность / вещественной. Если теперь, как и в § 12, ввести обозначения и — ReG>+, v = Im Ф+, то, за­ мечая, что Bf (z) = Re Kf (z), и вспоминая формулу (14.9), из (15.11') легко получим

Воспользуемся теперь утверждением 1) теоремы 14.3. Тогда для некоторой постоянной Av не зависящей от выбора /, получим

если кривая С не имеет точек заострения. Из (16.2) после приме­ нения неравенства Гёльдера получим также оценку

играющую роль нер шенства (12.6).

Вспоминая рассуждения п. 12.1 и пользуясь неравенствами (16.4), (16.5), вместо оценки (12.7) получим

\I\< <*i J/||L,>(C)+ Pil/Ur-plcjD^Ilb'cc)»

где «и — некоторые не зависящие от / постоянные. В силу отмеченных выше свойств функции F0(z) одновременно имеет место оценка (12.10), следовательно, для некоторой не зависящей от / постоянной Ti вместо (12.11) получаем

Ti ИЕр(С) < « 1 ШР{0) + Pi |/Цьр(оИ1;1су

Рассуждая теперь, как и в пп. 12.2, 12.3, приходим к заключе­ нию, что существует некоторая не зависящая от / постоянная А-г, для которой

т. е. что оператор Q+, определенный второй формулой (16.3), при 2 ^ р < с» ограничен на множестве функций Lip 1 (С) С LP(C).

16.3. Формулы (16.4), (16.6) означают, что сингулярный оператор К, определенный формулой (16.2) при z е= С, обладает свойством: существует постоянная Ар, не зависящая от выбора

136 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ [ГЛ. IV

функции / в пределах класса Lip 1 (С), для которой

которой является кривой ограниченного вращения без точек заост­

ражает единичный круг |Cl<Г 1 на G+ и Сг— образ окружпости 1£1 = г < 1 . Обозначая через а полярный угол в плоскости пе­ ременной £, вспоминая утверждение леммы 10.2 и пользуясь не­

Кроме того, как следует из первого соотношения (16.8), на любом замкнутом множестве впутри G+ последовательность Kfn{z) рав­ номерно сходится к Kf (z), следовательно,

Последние две формулы совместно со вторым соотношением (16.8)

иприводят к утверждению леммы 16.2 (см. начало п. 11.4). Поскольку неравенство (16.7) установлено пока только для

конечных р > 2, то только для таких р доказана и лемма 16.2. Справедливость утверждения леммы 16.2 для значений 1 < р < 2 будет следовать из рассуждений п. 16.4. Сейчас же мы только за­ метим, что из леммы 16.2 вытекает ограниченность сингулярного оператора (16.2) сразу во всем пространстве Lp (С), т. е. что не­ равенство (16.7) на самом деле имеет место не только на функциях / е Lip 1( С), но и на всех функциях / из Lp (С). Действительно,

верждению следствия 15.1, сингулярный интеграл (16.2) и в этом случае дает почти всюду конечную функцию, причем имеют место формулы (15.11'), а значит (для действительной /) и формулы (16.3). Неравенства (16.4), (16.5), очевидно, имеют место при любой / G Lv (С), а ссылка на результаты § 12 правомочна, ибо рас­ сматриваемая весовая функция F (z) удовлетворяет неравенствам (12.8), (12.13), следовательно, оценки (12.7), (12.10), как уже

пространстве LP(C) по крайней мере для всех конечных р > 2.

16.4.Переходя к сопряженному оператору, покажем, что

i. е. что сингулярный интеграл перестановочен с обычным ин­ тегралом по крайней мере для функций /, g из класса Lip 1(C).

Заметим, прежде всего, что оба повторных интеграла в (16.9) имеют смысл: для интеграла, стоящего в левой части (16.9), это вытекает из следствия 15.3, в силу которого внутренний интеграл есть функция, непрерывная на С, а для интеграла правой части

— из доказанного в п. 16.3, если заметить, что функция g (s) z'(s) принадлежит LP(C), р > 2. Остается только доказать равенство в формуле (16.9).

Воспользуемся отмеченной в п. 15.4 связью между сингуляр­

В повторном интеграле справа можно переставить порядок интег­ рирования па основапип теоремы Фубини, поскольку функция z’ (o)~gTs) Г/ (о) — f(s)]/ U (о) — z (s)l ограничена п измерима.

плотность которого / (s) g (s) z'(s) будем трактовать как элемент пространства Ьг (С). Согласно результатам п. 16.3, функция У (z) принадлежит классу EZ(G¥), а согласно следствию 15.1, имеют место формулы вида (15.11).Отсюда получаем, что почти всюду

\ $ ) - % ) ds = nif ^ ё (а)*'(б) “ 2m*T+ tz (в)1-

о

Подставляя последнее соотношение в формулу (16.10) и пользуясь теоремой Коши для функций класса Е1 (теорема 11.5), приходим к выводу, что последние два слагаемых в (16.10) взаимно сокра­ щаются. Но тогда из (16.10) получаем (16.9).

Предположим теперь, что 1 < р< 2 и что функция g (s)взя­

п. 16.3, приходим к выводу, что этот оператор преобразует функ­

с показателем 1 + е, а функция (16.13) принадлежит классу Я р+е

где z = reie, a / (а) — вещественная непрерывная по Гёльдеру 2я-лериодическая функция. Поскольку

2я

о

функции и (1, о), у (1, <з) принадлежат тому же классу, что и / (с) (см. теорему 15.3, (i), следовательно, выполнены все предпо­ ложения начала п. 12.1. Что же касается условия (12.6), то за­ метим, что

2я 2л

1ф <°>1 < 4г \I/WI■*=-к$!/Ml PW М р-1" W * <

оо

<4 ; ($ р WI/WI’ * ) M’( {р-'-'п »)*)""'.

оо

следовательно, (12.6) будет выполнено при 6 = 0, если число

о

конечно. Обращаясь к формуле (16.14) и снова вспоминая резуль­ таты п. 13.8, убедимся, что а < + оо, если наряду с условием (16.15) выполняется и следующее:

Следовательно, в условиях (16.15), (16.17) имеют место неравенст­ ва (12.7), (12.10) для функций и v — Sf. Повторяя рассужце*