книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

страиствс непрерывных на линии С функций и его норма не пре­ восходит правой стороны неравенства (14.7) (см. также п. 17.1). В дальнейшем преобразование (14.8) будем называть операто­ ром Радона.

Т е о р е м а 14.2 (И. Радон, см. [22]). Функция (14.1) непре­ рывна на замкнутых областях G± + С после доопределения ее предельными значениями 7?/±, какова бы ни была з/сорданова замкну­ тая линия ограниченного вращения С и непрерывная на ней функ­ ция } (s) (/ (0) = / (5)). Оператор (14.8) определен и ограничен на пространстве непрерывных на С функций, с его помощью пре­ дельные значения интеграла (14.1) выражаются по формулам

периодична, интегралы (14.1), (14.8) можно понимать как клас­ сические интегралы Стилтьсса при любых фиксированных значе­ ниях z или а. Предположим, что о — произвольная точка интер­ вала (О, S), отличная от точки разрыва угловой функции 0 ($).

s = а будет и полпая вариация Fj (ф) функции ф (a, s) по s. От­ сюда и из аддитивпости полной вариации (п. 1.2) следует, что F“i£ ^ ) стремится к пулю вместе с е. Воспользовавшись из­ вестным в теории интеграла Стилтьеса неравенством, (см., напри­ мер, [18], гл. VIII, § 7), получим

О+Е

iI ^ ( /(«К'кмкI a—E<S<O+E I/W IC JW .

следовательно, часть интеграла (14.8), приходящаяся на интервал [а — е, а + е], стремится к нулю вместе с е. Пользуясь еще ад­ дитивностью интеграла Стилтьеса, в рассматриваемых точках а получим

Теперь заметил!, что ф (о, s) абсолютно непрерывна по s па сег­ ментах [0, о — е], [а — е, S], поэтому при каждом е > 0 в по­ следней формуле можно перейти от интеграла Стилтьеса к ин­ тегралу Лебега от произведения / (s) фл(сг, S). Это приводит к форл!уле

о -е s

114 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАДОНА И КОШИ [ГЛ. IV

с помощью которой функцию Tf (о) можно определить в каждой точке а ив сегмента [О, S], за исключением его концов и точек разрыва угловой функции 0 (s), т. е. за исключением некоторого не более чем счетного множества точек. Рассматривая фупкцию Tf (о) как элемент некоторого пространства Lp(0, S), можно в упомянутых точках определить Tf (с) совершенно произвольно.

14.6. Формулу (14.10) примем в качестве о п р е д е л е н и я интеграла (14.8) в том более общем случае, когда / (s) не является непрерывной, а принадлежит только некоторому пространству

Представим функцию ограниченной вариации 0 (s) в виде раз­ ности двух неубывающих функций 0i(s), -02(s) (ср. формулу (1.6)): 0(«) = 0i(s) — 02ЮПоскольку I 0(s) — 0(р) I < I 0,(s) — 0х(р) |4- + 16а(5) — 0г(р) Iи 0i> 0 2 — неубывающие функции, то предыдущая оценка может быть превращена в следующую:

|j sin [в (<) - в (p)l ip |< (» - в) «в, («) - вх (з)1 + [9, (<) - 9а (з)1),

(14.13)

причем эта оценка уже имеет место как при а ^ s, так и при s < а .

Предположим теперь, что кривая С не имеет точек заостре­ ния, т. е. что максимальный скачок функции 0 (s) меньше я.

где к0 — некоторая постоянная. Пользуясь неравенствами (14.13), (14.14), для ядра (14.12) получаем оценку

Иными словами, если рассмотреть оператор, порожденный ядром (14.12), в пределах каждого квадрата st ^ s, а < Si+i, i = 0,1, ...

. . . ,n — 1, то он будет a-регулярным (см. п. 7.3), где а = (0! +

+ 02)/Ао. Согласно лемме 7.2, этот оператор определен и огра­ ничен в каждом пространстве Lp(Si, Si+i) при р > 1 и i = 0 ,1 , . . .

. . . , п — 1 .

Введем теперь в рассмотрение ядра

К»(с,з) =

Г7Г(б, а), если «j< s< S j+ i. i , / — 0 , 1 , .. . , п ,

0в остальных случаях,

атакже соответствующие им интегральные операторы Тц. Пос­

означает ограниченность «диагональных» оператор

= SIS *«<«. s ) / w * r * =

оо

-YiT к<?-

•1 *i

Рассмотрим теперь операторы Гщн» i = 0,1, . . п — 2; для них имеем

=$ |$ #i+i.i(o,*)/(*)d*| de<i4&i,i|/|Ep(0.S), si *i

Далее, как вытекает непосредственно из формулы (14.12), ядра

*о. п- i (0, s). Как следует из вида первой дроби в формуле (14.12), интеграл от sin [0 (s) — 0 (р)] по р в пределах от 0 до S равен нулю. Следовательно,

<а

Вспомним теперь, что 0 (s) получает на сегменте [0, iS] полное

+ $sin [0 (s)-'0 (p )]d p .

Отнесем теперь часть кривой С, отвечающую значениям дуги sn_i ^

кновому параметру s* с началом отсчета

вточке г (sn-i), а под углом наклона 0* касательной к этой части

0(5) может быть представлена в виде 0o(s) + 0(5), где 0 (s) — рассмотренная выше функция ограниченной вариации, a 0o(s) — произвольная ^-периодическая функция, удовлетворяющая на [О, S] условию Гёльдера с показателем а, 0 < а < ; 1. Действи­ тельно, главную роль в наших рассуждениях сыграли оценки вида (14.15). В упомянутом только что случае в правых частях этих оценок появятся дополнительные слагаемые вида К \s — а |а_1, К = const, соответствующие слагаемому 0o(s), а слагаемые такого вида порождают, как известно, вполне непрерывные интеграль­ ные операторы в пространствах Lp(О, S).

§15. Граничные свойства интеграла типа Коши—Стилтьеса

15.1.Спрямляемая кривая С длины S почти для всех значе­ ний дуги 5 Е [0, 5] имеет определенную касательную (см. п. 2.2); пусть, как обычно, 0 (s) (mod 2п) — угол ее наклона к оси х. Рас­

смотрим также (комплекспозначную, вообще говоря) функцию (i (s) ограниченной вариации на сегменте [О, S], а затем и соот­ ветствующую ей меру dp,. Бели линия С параметрически задана функцией z (s), 0 ^ 5 ^ S, то интегралом типа Коши — Стил­ тьеса меры dp. вдоль С называется выражение

s

Очевидно, что для каждого z ф С этот интеграл существует и определяет аналитическую по z функцию. В случае z = z0 Е С будем понимать его в смысле главного значения по Коши. Чтобы дать точное определение, обозначим через С (z0, е) меньшую часть кривой С, крайние точки которой суть z (s0 — е), z (s0 + е), если 50 — дуга, отвечающая точке z0 Е С. Сингулярным интег­ ралом типа К оуш — Стилтьеса меры dp вдоль С (или главным значением в смысле Коши) будем называть предел

i )7W!b ^ 5-2>

С \чС (го., е)

если, конечно, он существует.

Предположим, в частности, что мера dp, абсолютно непрерывна

(15.Г)