- •Частина іі Математична статистика
- •Розділ іv. Статистична перевірка гіпотез
- •1.1 Статистичний розподіл вибірки
- •1.2 Емпірична функція розподілу
- •1.3 Полігон та гістограма
- •Приклад 3. Вибірку задано у вигляді розподілу частот
- •1.4 Тренувальні вправи
- •2.1 Точкові оцінки параметрів розподілу
- •Основні властивості вибіркової середньої
- •1) При множенні усіх варіант вибірки на однаковий множник вибіркова середня також множиться на цей множник:
- •Приклад 1. Вибіркова сукупність задана таблицею
- •2.2 Інтервальні оцінки параметрів розподілу
- •2.3 Тренувальні вправи
- •2.4 Обчислення параметрів розподілу методом добутків
- •2.5 Індивідуальне семестрове завдання №1 “Статистичний розподіл вибірки. Обчислення параметрів розподілу методом добутків”
- •2.6 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №1
- •2.7 Обробка вибірки методом найменших квадратів
- •2.8 Тренувальні вправи
- •2.9 Індивідуальне семестрове завдання №2 «Метод найменших квадратів»
- •2.10 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №2
- •Розділ ііі. Елементи теорії кореляції
- •3.2 Лінійна кореляція
- •3.3 Криволінійна кореляція
- •3.4 Рангова кореляція. Вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена
- •3.5 Тренувальні вправи
- •3.6 Індивідуальне семестрове завдання №3 “Знаходження вибіркового коефіцієнта кореляції та прямих ліній регресії”
- •Варіант 5. Розподіл 50 за вартістю основних виробничих фондів (млн. Грн) та витратами (% до вартості основних фондів) на капітальний ремонт дано у таблиці:
- •Варіант 6. Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.Т) та затратами електроенергії на 1 тн. (тис. КВт-год) дано у таблиці:
- •Варіант 7. Розподіл 80 корів за живою вагою (кг) та надоями молока (кг) дано у таблиці:
- •Варіант 8. Розподіл 100 ткацьких фабрик за виробничими потужностями (тис. М. На рік) та собівартістю 1 м тканини (грн) дано у таблиці:
- •Варіант 9. Розподіл 100 прямокутних чавунних плиток за довжиною (см) та масою (кг) дано у таблиці:
- •Варіант 10. Розподіл 200 заводів за вартістю основних фондів (млн. Грн.) та вартістю готової продукції ( млн. Грн.) дано у таблиці:
- •Варіант 11. Розподіл підприємств за об’ємом продукції (грн) та за її собівартістю (грн) надано у таблиці:
- •Варіант 12. Розподіл 120 вагонних коліс за терміном служби (в роках) та величиною зносу ободу колеса (в мм) дано у таблиці:
- •Варіант 14. Розподіл 100 проб руди з вмістом окису заліза (%) та закису заліза (%) дано у таблиці:
- •Варіант 15. Розподіл однотипних підприємств за вартістю основних фондів (млн. Грн) та собівартістю одиниці продукції (грн) дано у таблиці:
- •Варіант 16. Розподіл 100 прямокутних плиток за їх довжиною (см) та масою (кг) дано у таблиці:
- •За відповідним рівнянням регресії оцінити середнє значення собівартості вугілля тих шахт, глибина виробок яких складає 800 м, та порівняти одержаний результат з відповідним груповим середнім.
- •За відповідним рівнянням регресії оцінити середнє значення газоносності тих шахт, глибина виробок яких складає 900 м, та порівняти його з відповідним груповим середнім.
- •3.7 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №3 Розподіл однотипних підприємств за вартістю основних фондів (млн. Грн) та собівартістю одиниці продукції (грн) дано у таблиці:
- •3.8 Питання для самоперевірки
- •Розділ іv. Статистична перевірка гіпотез
- •4.1 Поняття статистичної гіпотези
- •4.2 Критична область. Знаходження критичних областей
- •4.3 Критерій узгодження Пірсона
- •4.4 Тренувальні вправи
- •4.5 Питання для самоперевірки
- •Література
- •Додатки Додаток а Таблиця значень функції (х)
- •Додаток б
- •Додаток в
- •Додаток д
- •Додаток е Критичні точки розподілу 2
- •Додаток ж Критичні точки розподілу Стьюдента
- •Додаток и Критичні точки розподілу f Фішера – Снедекора
- •Додаток к Критичні точки розподілу Колмогорова
3.3 Криволінійна кореляція
Якщо графік регресії – крива лінія, то кореляцію називають криволинійною.
Зокрема, у випадку параболічної кореляції другого порядку вибіркове рівняння регресії Y на Х має вигляд
.
Невідомі параметри А, В и С знаходять (наприклад, методом Гауса) із системи рівнянь:
Аналогічно визначається вибіркове рівняння регресії на Y:
.
Для оцінки тісноти нелінійного кореляційного зв'язку вводять нові зведені характеристики
– вибіркове кореляційне відношення до .
– вибіркове кореляційне відношення до .
Для оцінки сили кореляції Y до Х служить вибіркове кореляційне відношення.
Вибірковим кореляційним відношенням до називають відношення міжгрупового середнього квадратичного відхилення до загального середнього квадратичного відхилення ознаки .
або .
Тут
;
,
де: п – об'єм вибірки (сума всіх частот);
– частота значень х ознаки Х;
– частота значень у ознаки Y;
– умовна середня ознаки Y;
– загальна середня ознаки Y.
Аналогічно визначається вибіркове кореляційне відношення
.
Приклад 1. Знайти вибіркове рівняння регресії за даними, наведеними у кореляційній таблиці:
У |
Х |
|||
7 |
8 |
9 |
|
|
200 |
41 |
7 |
|
48 |
300 |
1 |
52 |
1 |
54 |
400 |
|
8 |
40 |
48 |
|
42 |
67 |
41 |
|
Розв'язання.
Складемо розрахункову таблицю:
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
42 |
202,39 |
294 |
2058 |
14406 |
100842 |
850,8 |
5955,6 |
48689,2 |
8 |
67 |
301,5 |
536 |
4288 |
34304 |
274432 |
200,5 |
161604 |
1292832 |
9 |
41 |
397,6 |
369 |
3321 |
29889 |
269001 |
16301,6 |
146714,4 |
1320429,6 |
|
150 |
|
1199 |
9667 |
78599 |
644275 |
373529 |
314274 |
2661950,8 |
.
.
.
2) Підставивши числа, що знаходяться в останньому рядку таблиці, у систему, одержимо систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів А, В і С:
Розв'язавши систему, знайдемо:
.
Підставивши знайдені коефіцієнти в рівняння , одержимо
.
3) Для того, щоб обчислити вибіркове кореляційне відношення , попередньо знайдемо загальну середню , загальне середнє квадратичне відхилення і міжгрупове середнє квадратичне відхилення :
.
5) Знайдемо шукане вибіркове кореляційне відношення