Матрица образов как семейство множеств

	S1	S2	S3	…	Sq
Z1	0	1	0	…	1
Z2	1	1	0	…	1
Z3	1	1	1	…	0
…	…	...	...	…	…
Zp	0	0	0	0	0

Семейство множеств S или Z с заданными на них отношениями можно рассматривать как системы, в которых связи между элементами образуют определенную структуру. Следовательно, содержание задач по обработке матриц образов систем включает подбор типов отношений и анализ структуры порождаемых ими систем.

Рассмотрим основные меры, порождающие отношения на множестве исследуемых систем.

Меры сходства и различия. Мерой сходства (близости) обычно называется величина С (S_j, S_k), имеющая предел и возрастающая с возрастанием близости объектов. Под мерой сходства будем понимать неотрицательную вещественную функцию С (S_j, S_k), обладающую следующими свойствами:

Здесь S_j, S_k — множества значений признаков, описывающие сравниваемые объекты. Мера, коэквивалентная мере сходства, называется мерой различия D (S_j, S_k) и обладает свойствами метрики, если:

Свойствами (5.2) обладает, в частности, континуум эквивалентных мер, представляемых формулой

Меры сходства и различия "изобретаются" по специальным правилам [4], а выбор конкретных мер зависит, в первую очередь, от суперзадачи — цели конкретного исследования, а также от шкалы измерений. В табл. 5.4 приведены наиболее распространенные меры сходства и различия для различных значений коэффициента и (5.3), предназначенные для обработки качественных и количественных признаков.

Вычисление значений меры сходства двух сравниваемых объектов по качественным признакам удобно производить на основе бинарной матрицы, которая в терминах теории множеств задается следующим образом:

Здесь S — индексированное множество с элементами S_j (алфавит описаний), Sj —j-e описание объекта; Z — индексированное множество с элементами Z_i (алфавит признаков или значений признаков); Z_i — i-й признак (значение признака); x_iy — одно из двух значений {0, 1} i-гo признака y j-го объекта (x_ij = 1, если i-й признак есть у j-го объекта, в противном случае x_ij = 0); J и I— индексные множества.

Бинарная матрица для вычисления меры сходства между двумя объектами имеет следующий вид:

Вычисление меры сходства, например, по формуле Чекановского — Серенсена (см. табл. 5.4) с учетом бинарной матрицы (5.4) осуществляется по следующему выражению:

где x_i1, x_i2 — одно из двух значений {0, 1).

Рассмотрим правила вычисления количества элементов некоторых множеств, получаемых в результате операций над ними. Количество элементов множества S равно

где р — общее число элементов множества S;

x_i — значение i-ro элемента множества S, при этом  Sx_i = 1.

Количество элементов пересечения двух множеств S₁  S₂ равно

где x_i1, x_i2 — соответственно значения i-го элемента для множеств S₁ и S₂ .

Количество элементов объединения двух множеств S₁  S₂ равно

Мера включения. Она отражает различную степень включения одного объекта в другой и позволяет выявить, какой из двух сравниваемых объектов содержит больше специфических признаков, т. е. определить, какой объект более оригинален, а какой — более типичен среди множества анализируемых объектов.

Меры включения множества S₂ в множество S₁ и S₁ в S₂ определяются следующим образом:

Меры включения несимметричны, а включение j-го описания в самом себе стопроцентно, так как

Для более полного анализа множеств исследуемых объектов рассчитываются меры сходства, различия и включения для всех пар объектов. Полученные после вычислений значения соответствующих мер сводятся в квадратные матрицы порядка q x g, номерами строк и столбцов которых являются номера изучаемых объектов.