22. Дисперсія двв та його властивості. Середнє квадратичне відхилення.

Дисперсия – это числовая характеристика дискретной случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.

Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

Относительно пределов интегрирования - то же самое.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

22. Математичне сподівання та дисперсія біномного розподілу двв.

Набір P (k)( k=0,1…, n) називають біномним розподілом.

Біноміальний закон розподілу Імовірності в цьому законі визначаються за формулою   m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія Анастає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу: Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її можливих значень є скінченною або зліченною.Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями.

Математичним сподівання Х називають число, яке дорівнює сумі добутків можливих значень Х на відповідні їм імовірності. М(Х) або mX —математичне сподівання ДВВ.

Якщо Х приймає нескінченну кількість значень, то .

Дисперсія Х — це число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення в.в. від її математичного сподівання. — дисперсія величини Х.

Обчислення дисперсії для ДВВ:

Означення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величиниХ називається корінь квадратний із дисперсії D X .

24.Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості та ймовірносний смисл.

Диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини називають функцію , яка дорівнює похідній першого порядку від її інтегральної функції розподілу: .

Теорема. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина набуде будь-яке значення з проміжку обчислюється за формулою

Наслідок. Функцію розподілу випадкової величини визначають через її функцію щільності таким чином:

.

Умову нормування через функцію щільності записують таким чином: .

Якщо неперервна випадкова величина визначена лише на проміжку то умова формування має вигляд .