19. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Функція Лапласа.
В приложениях схемы Бернулли часто возникает вопрос найти вероятность, что число наступлений события А (m) лежит в заданных пределах.
Такую
вероятность обозначим:
.
Указанная вероятность может быть найдена по асимптотической формуле.
Теорема
(интегральная теорема Муавра-Лапласа):
пусть в схеме Бернулли
и
“n” – достаточно велико (“n”>100,
npq>20).
Тогда справедлива приближенная формула:
(Формула
5) , где
Пользуясь формулой Ньютона – Лейбница, Формулу (5) записывают следующим образом:
(Формула
6).
–
функция
Лапласа.
Значения Ф даны в таблицах.
20.Поняття випадкової величини. Функція розподілу. Приклади. Властивості функцій розподілу.
Випадковою
величиною є будь-яка (не обов'язково
числова) змінна 
,
"значення" якої 
утворюють множину 
елементарних
подій,
або, іншими словами, позначають точки
в просторі вибірок.
Відповідний розподіл
імовірностей називається
розподілом випадкової величини
. [2]
Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини , називається областю значень цієї величини.
Функція розподілу в теорії ймовірностей - функція, що характеризує розподіл випадкової величини або випадкового вектора. При дотриманні певних умов повністю визначає випадкову величину.
Нехай
дано ймовірнісна
простір 
,
І на ньому визначена випадкова
величина X з
розподілом 
.
Тоді функцією розподілу випадкової
величини Xназивається функція 
,
Що задається формулою:
.
Тобто
функцією розподілу (ймовірностей)
випадкової величини X називають функцію
F (x), значення якої в точці x одно ймовірності
події 
,
Тобто події, що складається тільки з
тих елементарних результатів, для
яких 
.
Властивості
F X неперервна справа: [1]
F X не убуває на всій числовій прямій.
.
.
Розподіл випадкової величини однозначно визначає функцію розподілу.
Вірно і зворотне: якщо функція F (x) задовольняє чотирьом перерахованим вище властивостям, то існує ймовірнісна простір і визначена на ньому випадкова величина, така що F (x) є її функцією розподілу.
За визначенням безперервності справа, функція F X має правий межа F X (x +) в будь-якій точці
,
І він співпадає із значенням
функції F X (x) в
цій точці.В силу неубиванія, функція F X також має і лівий межа F X (x -) в будь-якій точці , Який може не співпадати із значенням функції. Таким чином, функція F X або неперервна в точці, або має в ній розрив першого роду
21.Закон розподілу дискретної випадкової величини. Математичне сподівання двв та його властивості.
Законом розподілу дискретної випадкової величини на-
зивають відповідність між можливими значеннями і їх імовірностями. Його задають таблично, графічно чи аналітич-но (у виді формул).
Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла друга величина. В протилежному випадкувипадкові величини є залежними. Декілька випадкових вели-чин називаються взаємно незалежними, якщо закони розпо-ділу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення набула решта величин.
Добутком незалежних випадкових величин Х та Y нази-вають випадкову величину ХY, можливі значення якої рівні всеможливим добуткам співмножників Х і Y. Імовірності цих добутків рівні добуткам імовірностей відповідних співмнож-ників. Якщо деякі добутки ХіГі рівні між собою, то імовірність цього добутку рівна сумі імовірностей цих добутків.
Сумою випадкових величин Х і Y називають випадкову величину Х + Y, можливі значення якої рівні всеможливим су-мам з доданків Х та Y. Імовірності цих сум рівні добуткам імовірностей доданків; для залежних величин - добуткам імо-вірностей одного доданку на умовну імовірність другого, якщо деякі суми рівні між собою, то імовірність такої суми рівна сумі відповідних імовірностей доданків.
Математичним сподіванням дискретної випадкової ве-личини називають суму добутків всіх її можливих значень на їх імовірності:
Властивості математичного сподівання:
Математичне сподівання сталої величини є сама ця стала: М{С) = С.
Сталий множник можна виносити за знак математич-ного сподівання.
Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: