- •1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки без повторення . Перестановки з повтореннями.
- •2.Розміщення без повторення. Розміщення з повтореннями.
- •5. Трикутник Паскаля, біном Ньютона. Число всіх підмножин множини.
- •6.Комбінації з повтореннями.
- •7. Формули включень та виключень; вміти записати для 2 і 3.
- •8.Простір елементарних подій. Операції над подіями. Класичне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності.
- •9.Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій. Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій.
- •10.Залежні та незалежні події, умовна ймовірність.
- •11.Теорема множення для двох випадкових подій. Теорема множення для довільних випадкових подій.
- •12.Попарно залежні та незалежні у сукупності події. Приклад Бернштейна.
- •13.Геометричні ймовірності. Задача про зустріч. Задача Бюффона.
- •14. Ймовірність появи хоча б однієї випадкової події. Задача про товсту монету.
- •15.Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
- •1.Формула повної ймовірності
- •16. Формула Бернулі. Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі.
- •17.Теорема Пуассона
- •18. Локальна теорема Муавра-Лапласа. Функція Гаусса.
- •19. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Функція Лапласа.
- •20.Поняття випадкової величини. Функція розподілу. Приклади. Властивості функцій розподілу.
- •21.Закон розподілу дискретної випадкової величини. Математичне сподівання двв та його властивості.
- •Дисперсія двв та його властивості. Середнє квадратичне відхилення.
- •Математичне сподівання та дисперсія біномного розподілу двв.
- •24.Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості та ймовірносний смисл.
- •25. Відшукання інтегральної функції неперервної випадкової величини за відомою диференціальною функцією. Доведення рівності та її геометричний зміст.
- •26.Числові характеристики неперервної випадкової величини.
- •27. Нормальний закон розподілу, його параметри та графік. Зв’язок між функцією розподілу нормального закону та функцією Лапласа.
- •28.Ймовірність попадання нормально розподіленої величини в заданий інтервал.
- •29. Правило трьох сигм.
- •30. Поняття про закон великих чисел. Нерівності Чебишева.
- •31.Мода та медіана, квантилі.
- •32.Рівномірний розподіл та його числові характеристики.
- •Показниковий розподіл та його числові характеристики.
- •34. Закон розподілу Пуассона
- •35.Геометричний розподіл та його числові характеристики.
- •36. Початкові та центральні моменти. Асиметрія та ексцес.
- •37.Приклади: асиметрія показникового розподілу; асиметрія розподілу Пуассона.
- •Розподіл Пуассона
- •38.Теорема Чебишова.
- •39.Теорема Бернуллі
- •40. Центральна гранична теорема.
- •Классическая формулировка ц.П.Т.
- •41. Випадковий процес та його характеристики.
- •42.**Ланцюгі Маркова
- •Формальне визначення Послідовність дискретних випадкових величин називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо
- •43.**Марківський випадковий процес. Потоки подій.
- •**Пуассонівський випадковий процес.
- •45. Поняття про генеральну сукупність та вибірку. Емпірична формула розподілу.
- •46. Вибіркові характеристики. Варіаційний ряд, таблиці частот, гістограма.
- •47.Полігон частот. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу.
- •48. Вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. Інтервальні оцінки параметрів розподілу.
- •49.Надійні межі для математичного сподівання у випадку нормального розподілу.
- •50.Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки. Критерій Пірсона.
15.Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
1.Формула повної ймовірності
Ймовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї із попарно не сумісних подій повної групи Н, визначається за формулою:
Р(А)=Р(Н1)Р H1(А)+Р(Н2)РH2(А+…+Р(Нn)РHn(А), або Р(А)=∑Р(Hi)РHi(А).
Формула називається формулою повної ймовірності. Події Ні називають гіпотезами; Р(Ні) – ймовірність гіпотез
2.Формула Байеса Формула повної ймовірності дає можливість встановити ймовірність появи події А, не виясняючи,яка з подій Н викликала подію А. Але якщо подія А відбулася, то можна зацікавитися питанням вияснення “винуватця”, тобто вияснити ймовірність, того, що подія Ні визвала появу події А.
Теорема. Для будь-якої випадкової події А, для якої Р(А) ≠0, і яка може з’явитись лише за умови появи однієї з попарно несумісних випадкових подій Н1, Н2,…,Нn, що складають повну групу подій, виконується рівність: РA(Нi)=Р(Нi)РHi(А)/Р(А). Оскільки подія А трапилася з однією із подій групи Н, то ∑РA(Нi)=1.
16. Формула Бернулі. Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі.
Формула Бернуллі - формула в теорії ймовірностей, що дозволяє знаходити ймовірність появи події A при незалежних випробуваннях. Формула Бернуллі дозволяє позбутися значної частини обчислень - додавання і множення ймовірностей - при досить великій кількості випробувань. Названа на честь видатного швейцарського математика Якоба Бернуллі, що вивів формулу.
Теорема: Якщо ймовірність p настання події Α в кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що подія A настане k раз в n незалежних випробуваннях, дорівнює: , де .
Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі
Біноміальний розподіл (розподіл за схемою Бернуллі) дозволяє, зокрема, встановити, яка кількість появ події А найбільш ймовірно. Формула для найбільш ймовірного числа успіхів K (появ події) має вигляд:
, то ці межі відрізняються на 1. Тому K, що є цілим числом, може приймати або одне значення, коли NP ціле число (K = NP), тобто коли NP + P (а звідси і NP - q) неціле число, або два значення, коли NP - q ціле число.
17.Теорема Пуассона
Гранична теорема теорії ймовірностей , що є часним випадком закону великих чисел. Вона узагальнює теорему Бернуллі на випадок незалежних випробувань, ймовірність появи в котрих якоїсь події залежить від номеру випробувань.
Формулювання : якщо в послідовності незалежних випробувань подія А виникає з ймовірностями , що залежать від номеру випробувань k, k=1,2,…, /n-частота А у випробуваннях, то при будь-якому е>0 ймовірність нерівності
буде прямувати до 1 при .
18. Локальна теорема Муавра-Лапласа. Функція Гаусса.
Рассмотрим последовательность из n независимых опытов, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p, либо не произойти — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через Pn(k) вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных.
В таком случае величину Pn(k) можно найти по теореме Бернулли (см. урок «Схема Бернулли. Примеры решения задач»):
Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если n будет достаточно большим, то найти значение Pn(k) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа, которая позволяют найти приближенное значение вероятности:
Теорема
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда:
Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться даже на контрольных работах и экзаменах.
Функция Гаусса обладает двумя свойствами, которые следует учитывать при работе с таблицей значений:
φ(−x) = φ(x) — функция Гаусса — четная;
При больших значениях x имеем: φ(x) ≈ 0.
Локальная теорема Муавра — Лапласа дает отличное приближение формулы Бернулли, если число испытаний n достаточно велико. Разумеется, формулировка «число испытаний достаточно велико» весьма условна, и в разных источниках называются разные цифры. Например:
Часто встречается требование: n · p · q > 10. Пожалуй, это минимальная граница;
Другие предлагают работать по этой формуле только для n > 100 и n · p · q > 20.