- •1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки без повторення . Перестановки з повтореннями.
- •2.Розміщення без повторення. Розміщення з повтореннями.
- •5. Трикутник Паскаля, біном Ньютона. Число всіх підмножин множини.
- •6.Комбінації з повтореннями.
- •7. Формули включень та виключень; вміти записати для 2 і 3.
- •8.Простір елементарних подій. Операції над подіями. Класичне означення ймовірності. Статистичне означення ймовірності.
- •9.Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій. Теорема додавання ймовірностей для сумісних подій.
- •10.Залежні та незалежні події, умовна ймовірність.
- •11.Теорема множення для двох випадкових подій. Теорема множення для довільних випадкових подій.
- •12.Попарно залежні та незалежні у сукупності події. Приклад Бернштейна.
- •13.Геометричні ймовірності. Задача про зустріч. Задача Бюффона.
- •14. Ймовірність появи хоча б однієї випадкової події. Задача про товсту монету.
- •15.Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
- •1.Формула повної ймовірності
- •16. Формула Бернулі. Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі.
- •17.Теорема Пуассона
- •18. Локальна теорема Муавра-Лапласа. Функція Гаусса.
- •19. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Функція Лапласа.
- •20.Поняття випадкової величини. Функція розподілу. Приклади. Властивості функцій розподілу.
- •21.Закон розподілу дискретної випадкової величини. Математичне сподівання двв та його властивості.
- •Дисперсія двв та його властивості. Середнє квадратичне відхилення.
- •Математичне сподівання та дисперсія біномного розподілу двв.
- •24.Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості та ймовірносний смисл.
- •25. Відшукання інтегральної функції неперервної випадкової величини за відомою диференціальною функцією. Доведення рівності та її геометричний зміст.
- •26.Числові характеристики неперервної випадкової величини.
- •27. Нормальний закон розподілу, його параметри та графік. Зв’язок між функцією розподілу нормального закону та функцією Лапласа.
- •28.Ймовірність попадання нормально розподіленої величини в заданий інтервал.
- •29. Правило трьох сигм.
- •30. Поняття про закон великих чисел. Нерівності Чебишева.
- •31.Мода та медіана, квантилі.
- •32.Рівномірний розподіл та його числові характеристики.
- •Показниковий розподіл та його числові характеристики.
- •34. Закон розподілу Пуассона
- •35.Геометричний розподіл та його числові характеристики.
- •36. Початкові та центральні моменти. Асиметрія та ексцес.
- •37.Приклади: асиметрія показникового розподілу; асиметрія розподілу Пуассона.
- •Розподіл Пуассона
- •38.Теорема Чебишова.
- •39.Теорема Бернуллі
- •40. Центральна гранична теорема.
- •Классическая формулировка ц.П.Т.
- •41. Випадковий процес та його характеристики.
- •42.**Ланцюгі Маркова
- •Формальне визначення Послідовність дискретних випадкових величин називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо
- •43.**Марківський випадковий процес. Потоки подій.
- •**Пуассонівський випадковий процес.
- •45. Поняття про генеральну сукупність та вибірку. Емпірична формула розподілу.
- •46. Вибіркові характеристики. Варіаційний ряд, таблиці частот, гістограма.
- •47.Полігон частот. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу.
- •48. Вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. Інтервальні оцінки параметрів розподілу.
- •49.Надійні межі для математичного сподівання у випадку нормального розподілу.
- •50.Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки. Критерій Пірсона.
Классическая формулировка ц.П.Т.
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть . Тогда
по распределению при ,
где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
по распределению при .
Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри-Эссеена.
41. Випадковий процес та його характеристики.
Випадко́вий проце́с— важливе поняття сучасної теорії ймовірностей. Є певним узагальненням поняття випадкова величина, а саме — це випадкова величина, що змінюється з часом (іншими словами: випадкова величина, що залежить від змінної величини, яку називають час, або іншими словами — це набір випадкових величин, параметризованих величиною T — часом).
Розрізняють випадкові процеси з дискретним і неперервним часом.
Нехай — ймовірнісний простір; —вимірний простір; t — параметр, сукупність значень якого, є, в загальному випадку, довільною множиною; — елементарна подія.
Випадковою функцією , , називають вимірне відображення простору елементарних подій в , що залежить від параметру t.
Якщо — відрізок числової осі, а параметр t інтерпретувати як час, то замість терміну «випадкова функція» використовують термін «випадковий процес».
Характеристики. Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу - невипадковими функціями.
Математичним очікуванням випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція ax(t), яка при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перерізу випадкового процесу X(t), тобто ax(t) = М[X(t)].
Дисперсією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція Dx(t), при якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного поєднання випадкового процесу X(t), тобто Dx(t)=D[X(t)].
Середнім квадратичним відхиленням σx(t) випадкового процесу X(t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто σx(t)=Dx(t).
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.
42.**Ланцюгі Маркова
Ланцюг Маркова в математиці це випадковий процес, що задовольняє властивість Маркова і який приймає скінченну чи зліченну кількість значень(станів). Існують ланцюги Маркова як з дискретним так і з неперервним часом.
Інтуїтивне визначення Нехай I -деяка скінченна чи зліченна множина елементи якої називаються станами. Нехай деякий процес в момент часу n (де n=0,1,2,3...) може перебувати в одному із цих станів, а в час n+1 перейти в деякий інший стан(чи залишитися в тому ж). Кожен такий перехід називається кроком. Кожен крок не є точно визначеним. З певними ймовірностями процес може перейти в один з кількох чи навіть усіх станів. Якщо імовірності переходу залежать лише від часу n і стану в якому перебуває процес в цей час і не залежать від станів в яких процес перебував у моменти 0, 1, ... , n-1 то такий процес називається (дискретним) ланцюгом Маркова. Ланцюг Маркова повністю задається визначенням ймовірностей pi перебування процесу в стані в час n=0 і ймовірностей переходу зі стану в стан в час n. Якщо ймовірності переходу не залежать від часу (тобто однакові для всіх n) то такий ланцюг Маркова називається однорідним. Саме однорідні ланцюги Макова є найбільш важливими на практиці і найкраще вивченими теоретично. Тому саме їм приділятиметься найбільша увага у цій статті.