10.Залежні та незалежні події, умовна ймовірність.

Означення 1. Подія А називається незалежною (independent) від події В, якщо ймовірність появи подіїА не залежить від того, відбулась подія В чи не відбулась.

Теорема 1. Якщо випадкові події А і В незалежні, то імовірність суміщення подій А і В дорівнює добутку ймовірностей появи цих подій.

Означення 2. Подія А називається залежною (dependent) від події В, якщо ймовірність події Азмінюється в залежності від того, відбулась подія В чи не відбулась.

Розглянемо два приклади:

I. Дослідом є кидання двох монет.

Розглядаються події:

А – поява герба на одній монеті;

В – поява герба на другій монеті.

В цьому випадку ймовірність події А не залежить від того, відбулась подія В чи не відбулась; подія А не залежить від події В.

Означення 3. Ймовірність події А, обчислена при умові, що мала місце інша подія В, називається умовною ймовірністю (conditional probability) події А і позначається  .

Умову незалежності події А від події В можна записати у вигляді:

.

Теорема 2. Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність другої, яка обчислена при умові, що перша мала місце:

.

Доведення. Нехай можливі виходи досліду зводяться до n випадків.

Нехай появі події А сприяють m випадків. Існують випадки, які сприяють і події А, і події В одночасно. Нехай число таких випадків l. Тоді

; 

Якщо відомо, що А відбулась, то   можливих випадків, при яких відбувається А і з них l сприяють подіїВ, а значить  .

Тоді одержимо :

,

що й потрібно було довести.

Теорему можна записати так:  .

Якщо ж А не залежить від В, то   і   і одержимо результат теореми 1:  .

11.Теорема множення для двох випадкових подій. Теорема множення для довільних випадкових подій.

Пересечением (произведением) двух событий C и D называется событие F, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события C и D: F = C · D

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

В частности, для независимых событий

События являются независимыми, если факт появления одного из них не влияет на вероятность появления другого.

12.Попарно залежні та незалежні у сукупності події. Приклад Бернштейна.

Дві події називаються несумісними – якщо їх перетин є неможливою подією. А∩В=V. Дві події називаються сумісними, якщо їх перетин не є неможливою подією. А∩В≠V. Події А1, А2, ..., Аn називаються попарно несумісними, якщо кожні дві з них є несумісними. Приклад: несумісні - В результаті одного підкидання монети не може результатом бути і герб і цифра

Випадкові події А1 , А2 , …, Аn (Аi ( (, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо при будь-яких k=1, 2, …, n та ( ( і1 ( і2 ( …( іk ( n. Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,.., Аn називаються попарно незалежні.

Приклад Бернштейна показує що попарна незалежність подій ще не означає їх незалежність в сукупності.

Підкидається правильний тетраедр, три грані якого пофарбовано відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а в розфарбуванні четвертої грані є всі три кольори. Події R (червоний), G (зелений), B(синій) означають, що в розфарбуванні грані, яка стикається з поверхнею, є відповідні кольори. Перевірити, що події R,G,B попарно незалежні, але не незалежні в сукупності.

Розв'язання

Оскільки тетраедр правильний, то беремо класичну модель.Кожен колір наявний на двох гранях, тому .

Два і більше кольорів наявні в розфарбуванні лише однієї грані, тому .Звідси,

Тому, події R,G,B - попарно незалежні за означенням. Але

що означає, що вони не є незалежними в сукупності.