Формальне визначення Послідовність дискретних випадкових величин називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо

.Тобто майбутні значення послідовності залежать лише від теперішнього стану і не залежать від минулих.

Матриця  , де називається ма́трицею ймовірностей переходу на  -му кроці, а вектор  , де — початковим розподілом ланцюга Маркова.

Очевидно, матриця ймовірностей переходу є стохастичною, тобто .

Ланцюг Маркова називається однорідним якщо: , або еквівалентно:

для всіх n.

43.**Марківський випадковий процес. Потоки подій.

Ма́рковський проце́с — це випадковий процес, конкретні значення якого для будь-якого заданого часового параметру t+1 залежать від значення у момент часу t, але не залежать від його значень у моменти часу t-1, t-2 і т. д. (дискретний випадок марковського процесу). Іншими словами «майбутнє» процесу залежить лише від «поточного» стану, але не залежить від «минулого» (за умови, коли «поточний» стан процесу відомий).

 Випадковий процес називається процесом з дискретними станами, якщо можливі стани системи S1, S2, S3, … можна перерахувати (перенумерувати) одне за іншим, а сам процес полягає в тому, що час від часу системаS стрибком (миттєво) переходить з одного стану в інший.

 Окрім процесів з дискретними станами існують випадкові процеси з безперервними станами: для цих процесів характерний поступовий, плавний перехід із стану в стан.

Потоком подій називається послідовність однорідних подій, що наступають одне за іншим у випадкові моменти часу.

 Прикладами можуть бути:

 - потік викликів на телефонній станції;

 - потік включень приладів в побутовій електромережі;

 - потік вантажних складів, що поступають на залізничну станцію;

 - потік несправностей (збоїв) обчислювальної машини;

 - потік пострілів, що направлені на мету, і т.д.

 При розгляді процесів, що протікають в системі з дискретними станами і безперервним часом, часто доцільно представляти процес так, як ніби зміни станів системи відбуваються під дією якихось потоків подій (потік викликів, потік несправностей, потік заявок на обслуговування, потік відвідувачів і т. д.) Тому має сенс розглянути докладніше потоки подій і їх властивості

 Потік подій можна зобразити послідовністю точок на осі часу 0-7 (рис. 2.3, а), кожна з яких має певну координату.

 Потік подій називається регулярним, якщо події слідують одне за іншим через строго певні проміжки часу.

44. **Пуассонівський випадковий процес.

Заданы: полное вероятностное пространство и произвольное множество вида или . Рассмотрим измеримое отображение , индуцирующее вероятностное пространство , где – -алгебра борелевских множеств из , – вероятность, заданная на .

Случайным процессом называется:

1). Если вероятность числа событий на интервале зависит только от и не зависит от положения интервала на временной оси, то такой случайный процесс обладает свойством стационарности.

2). Если события, происходящие на непересекающихся интервалах времени суть независимые случайные величины, то такой случайный процесс обладает свойством отсутствия последствия.

3). Если вероятность того, что в малом интервале времени произойдет не более одного события, есть величина бесконечно малая порядка при , то случайный процесс обладает свойством ординарности.

4). Поток событий , удовлетворяющий условиям: стационарности, отсутствия последействия и ординарности называется пуассоновским, или простейшим.

5). Пуассоновский процесс является непрерывным процессом с дискретным временем.

Свойства: Пуассоновский случайный процесс.

1). Простейший поток событий описывается одномерным распределением , . Параметр называется интенсивностью пуассоновского потока событий.

2). Простейший поток событий описывается многомерным распределением и характеризуется интенсивностью .

3). Пусть ( , ) – моменты появления пуассоновских событий. Тогда случайные величины независимы в совокупности и .

4). Все траектории пуассоновского процесса представляют собой непрерывные монотонные функции.

5). Траектории пуассоновского процесса могут содержать конечное множество точек разрыва второго рода.