1.3.4 Операция эквиваленция

Называется – эквиваленция (равнозначность, эквивалентность, взаимозависимость). Логико-математическая символика для двух переменных имеет несколько видов:

y=x₁~x₂, y = x₁ ≡ x₂, y = x₁↔x_2. Читается: x₁ как х₂.

Операцией эквиваленции называется такая функция нескольких переменных, которая истинна тогда, когда все переменные или истинны или ложны.

Обычно логический элемент эквиваленции строят на элементах И, ИЛИ, НЕ (см. рисунок 1.5), например, на основе эквивалентности функций.

1.3.5 Операция импликация

Называется импликация (разделение с запретом, следование, селекция).

Логико-математическая символика для двух переменных имеет вид:

y=x₁→x₂, y =x₁ x₂ y=x₁> x₂. Читается: если x₁ ..., то х₂.

Логическая операция двуместная. Простое высказывание x₁ называется посылкой импликации, х₂ - ее заключением.

В случае импликации несоответствие между обычным пониманием истинности сложного высказывания и точкой зрения смысла высказываний еще заметнее, чем для других логических операций.

Например. Если в Запорожье идет дождь, то все дороги грязные.

Главное отличие состоит в том, что смысловое содержание подразумевает причинную связь между посылкой и заключением.

Операцией импликации называется такая функция f(x₁,x₂), которая ложна тогда и только тогда, когда x₁ истинно, а х₂ ложно.

На рисунке 1.6 представлены две схемы логической функции импликации построенной на элементах И, ИЛИ, НЕ для двух эквивалентных функций.

1.3.6 Сумма по модулю 2

Называется: сумма по модулю 2 (сложение по модулю 2, неравнозначность, антиэквивалентность).

Логико-математическая символика для двух переменных имеет несколько видов:

y = x₁ x₂, y = x₁ x₂,y =x₁+x₂, y =f(x₁, x₂,..., x_n)∙mod2.

Читается: сложение x₁ и х₂ по модулю 2.

Функцией сложения переменных по mod2 называется функция, которая ложна тогда, когда число истинных переменных четно или равно нулю и наоборот.

Очень часто применяется в технике цифровых автоматов для контроля правильности передачи информации по информационному каналу.

Для функции y=x₁ x₂ строится техническая реализация (см. рисунок 1.7) с помощью следующего соответствия:

x₁ x₂ = x₁ + x₂ = (x₁ + x₂)( + ).

1.3.7 Штрих Шеффера

Называется: штрих Шеффера (отрицание конъюнкции, несовместимость, логическое НЕ-И). Эта функция названа по имени немецкого математика Шеффера, который на основе этой функции создал свою алгебру логики. Логико-математическая символика:

Читается: x₁ и х₂ не.

Функцией штрих Шеффера называется функция которая ложна только тогда, когда x₁ и х₂ истинны.

Для функции строится техническая реализация (см. рисунок 1.8) с помощью следующего соответствия .

1.3.8 Стрелка Пирса

Называется: стрелка Пирса (функция Вебба, отрицание дизъюнкции, логическое НЕ-ИЛИ).

Математики Пирс и Вебб, независимо друг от друга изучавшие свойства этой функции, создали алгебру логики, названную алгеброй Пирса. Логико-математическая символика:

y=x₁↓x₂, y=x₁◦x₂, y= . Читается: x₁ или x₂ не.

Функцией стрелка Пирса (Вебба) называется функция f(x₁,x₂,…,x_n), которая истинна только тогда, когда ложны все переменные.

Мы рассмотрели основные логические функции от одной, двух и более переменных, которые нашли наибольшее применение в технике цифровых автоматов. Проведем анализ этих функций и их зависимость от числа входных переменных.