5.1.1 Представление лф в совершенной дизъюнктивной нормальной форме
Для изложения метода и алгоритма перехода от таблицы задания цифрового автомата к аналитическому представлению его с помощью функции алгебры логики, рассмотрим следующую теорему[1,2]:
Теорема. Любой таблично - заданный ЦА может быть представлен в виде логической функции совершенной дизъюнктивной нормальной формы ( СДНФ)
f (x1, x2, …,
хn) = F1 + F2
+ F3 + ... + Fn =
Fi,
(5.1)
где i - номера наборов, на которых функция равна 1, т.е.
- знак всеобщности совершенной дизъюнктивной нормальной формы, объединяющий все минтермы Fi, равные 1.
В самом деле, если на каких-либо наборах функция f(x1,x2,…,хn)=1, а на других наборах f(x1,x2,…,хn)=0 то, вследствие того, что х+1+…+1+0+…+0=1, в правой части объединения нулевые термы исчезают и всегда найдется хотя бы один минтерм, равный 1.
Поэтому, аналитическая запись 5.1 однозначно отображает таблицу истинности любого ЦА без элементов памяти для конечного числа переменных.
5.1.2 Дизъюнктивная нормальная форма лф
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) логических функций обычно получается после аналитических преобразований совершенной дизъюнктивной нормальной формы, например, минимизации. При этом, могут сократится некоторые термы, переменные, логические операции. Все это приведет к более сокращенной форме записи логической функции, по своей значимости, равносильной исходной СДНФ.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) -дизъюнктивное объединение термов, включающее минтермы переменного ранга.
Например. Записать в аналитическом виде ЛФ заданную таблицей 5.1.
Таблица 5.1-Задание функции
x1 |
x2 |
х3 |
f(x) |
х1 |
x2 |
x3 |
f(x) |
0 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 1 |
1 1 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 0 |
Количество всех термов, входящих в аналитическую запись равно количеству конституэнт единицы (т.е. f(x) = l).
Тогда запишем функцию таблицы 5.1 в СДНФ:
f(x1, x2, x3) =
+
x2
x3 + x1
.
Склеивая 1 и 3 минтермы, получим ДНФ
f(x1, x2, x3) = ( + x1)+ x2 x3= + x2 x3.
Следствие теоремы 5.1. Любая таблично заданная ЛФ может быть представлена в следующей аналитической форме:
f(xl, x2, ... ,xn) = F1 F2 ... Fn = Fi, (5.2)
Для того чтобы выполнялось это соотношение, необходимо, чтобы при обращении любого терма Fi в единицу все выражение обращалось в единицу, а при обращении всех термов в нуль все выражение также становится равным нулю. Функция сложения по mod2 отвечает этому требованию.
Представление ЛФ в виде 5.1 называют дизъюнктивным представлением, а 5.2 полиномиальным представлением.
5.1.3 Представление лф в совершенной конъюнктивной нормальной форме
Для получения представлений конъюнктивного типа рассмотрим функции Fi(xl, x2, ... ,xn), определяемые, как
Такие функции называют характеристическими функциями нуля.
Теорема. Любой таблично заданный ЦА может быть представлен в следующей совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ):
f(xl, x2, ... ,xn) = Fi1
· Fi2 · ... ·Fik = & Fi,
i
T0, (5.3)
где Т0 есть множество номеров наборов (кортежей) на которых функция f обращается в нуль. Доказательство теоремы аналогично. Если на каком-нибудь наборе функция f равна нулю, то этого достаточно, чтобы хоть один терм Fi равнялся нулю. А если f равна единице, то для этого все термы должны быть равными единице.
Следствие. Любая таблично заданная ФАЛ может быть представлена в следующей аналитической форме:
f(xl, x2, ... ,xn) = Fi1 ~ Fi2 ~ ... ~ Fik, (5.4)
где ij T0 принадлежит нулевым термам.
Представление функции в виде 5.3 называют конъюнктивным представлением, а в виде 5.4 называют равнозначностью. Можно показать представление ФЛ через штрих Шеффера, стрелку Пирса
Определение конъюнктивная. нормальная форма (КНФ) - обьединение термов, включающее в себя макстермы разных рангов.
Например: (х1 + х2 + )(х1 + х2)(х2 + ).