1.3 Основные логические операции

При образовании из простых высказываний сложных, большую роль играют соединительные связки, определяющие смысл и логику целого предложения. Например: "Я пойду в парк и встречу друга", "Я пойду в парк или встречу друга", "Если я пойду в парк, то встречу друга", "Я пойду в парк, если и только если встречу друга", "Я пойду в парк тогда и только тогда, когда встречу друга".

В алгебре логики соединительные связки, кроме связи переменных, определяют логические операции. Основные из них будут приведены ниже с принятыми в технической литературе обозначениями и таблицами истинности.

Таблицей истинности называется таблица, в которой приведены возможные значения {0,1} переменных высказываний и соответствующие им из множества {0,1} значения основной цели сложного высказывания.

1.3.1 Операция отрицания

Операция отрицания - НЕ, в алгебре логики обозначается черточкой (чертой) над переменной (формулой): . Встречается обозначение ¯|Х, ~X.

Отрицанием называется такая логическая операция между входной логической переменной X и выходной логической переменной Y, при которой Y истинно только тогда, когда X ложно, и наоборот, Y ложно только тогда, когда истинно X.

С помощью логико-математической символики логическая функция НЕ записывается как у= и читается "у равно не х".

Например, если X - утверждение о наличии сигнала Лог.1 на входе микросхемы, то Y соответствует утверждению о наличии сигнала Лог.0 (см. рисунок 1.2).

1.3.2 Операция логического умножения

Операция логического умножения нескольких переменных - И, конъюнкция. Синонимы: совпадение, произведение, пересечение, логическое И.

Логико-математическая символика для двух переменных имеет несколько видов:

у = x₁·x₂, y = x₁x₂, y = x₁ x₂, y = x₁ & x₂, y = x₁ x₂ . Читается: x₁ и x₂.

Логическим умножением нескольких переменных называется такая функция, которая истинна только тогда, когда одновременно истинны все умножаемые переменные.

Логическая операция двуместная и более.

Сигнал на выходе логического устройства И будет тогда, когда будет x₁=Лог.1 и х₂=Лог.1. Это хорошо видно из таблицы истинности (см. рисунок 1.3).

1.3.3 Операция логического сложения

Операция логического сложения ИЛИ называется дизъюнкция (разделение, логическая сумма, сборка, логическое ИЛИ).

Логико-математическая символика для двух переменных имеет несколько видов:

y=x₁+x₂, y=x₁ x₂, y=x₁ x₂. Читается: x₁ или х₂.

Логическим сложением нескольких переменных называется такая функция, которая истинна тогда, когда истинна хотя бы одна переменная.

Логическая операция ИЛИ двуместная и более. Надо иметь в виду, что в обычной речи союз "или'' употребляется в двух различных смыслах. Не альтернативное (не исключающее) ИЛИ и альтернативное (исключающее) ИЛИ. В высказываниях первого типа утверждается истинность, по крайней мере, одного из участвующих в нем простых высказываний; во втором случае - в точности одного (или ... или).

Дизъюнкция соответствует не альтернативной операции ИЛИ. Абсолютная истинность означает, что в каждой ситуации хотя бы одно из высказываний x₁, x₂ истинно, а если оба, то тем более истинно.

Сигнал на выходе логического устройства ИЛИ будет Лог.1 тогда, когда хотя бы один сигнал на входе будет 1 (см. рисунок 1.4).