- •Диференціальні рівняння
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків
- •5.1. Загальні поняття
- •5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними
- •5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)
- •5.2.4. Лінійні рівняння
- •5.2.5. Рівняння Бернуллі
- •5.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які припускають зниження порядку
- •5.3.1. Рівняння вигляду .
- •5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.
- •5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.
- •6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •6.1. Загальні поняття
- •6.2. Лінійна залежність і незалежність функцій і розв"язків лінійних диференціальних рівнянь
- •6.3. Структура загального розв"язку лінійного однорідного диференціального рівняння
- •6.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими дійсними коефіцієнтами
- •6.4.1. Характеристичне рівняння
- •6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні
- •6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні
- •6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні
- •6.5. Лінійні неоднорідні рівняння
- •6.5.1. Структура загального розв"язку
- •6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1
- •6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів
- •6.5.4. Принцип суперпозиції
- •7. Нормальні системи диференціальних рівнянь
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку
- •8. Поняття про наближені методи інтеґрування диференціальних рівнянь
- •8.1. Метод послідовних наближень
- •8.2. Метод ейлера1
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків 312
6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні
Нехай, нарешті, дискримінант характеристичного рівняння (14) від"єм-ний, так що характеристичне рівняння має два комплексні корені
.
Ми могли б зразу написати два комплексні частинні розв"язки рівняння (12),
,
але краще знайти дійсні розв"язки, і ми спроможні зробити це. Дійсно, послуговуючись формулою Ейлера
,
отримуємо
.
Тепер на підставі властивості 3 розв"язків лінійного однорідного диференціального рівняння з дійсними коефіцієнтами (див. п. 6.1) дві дійсні функції
є частинними розв"язками рівняння (12), причому лінійно незалежними, оскіль-ки
.
Таким чином, загальний розв"язок рівняння (12) в даному випадку є
.
Приклад 9. .
Характеристичне рівняння
має комплексні корені
.
Тому диференціальне рівняння має два дійсні лінійно незалежні розв"язки
,
які дають можливість отримати загальний розв"язок
.
Приклад 10. Для вже відомого рівняння
(приклади 5, 6) характеристичне рівняння
має комплексні корені
.
Отже, лінійно незалежні дійсні розв"язки диференціального рівняння є
а загальний розв"язок дається формулою
Цей результат збігається з отриманим в прикладі 6.
Зауваження. Позначмо
ліву частину характеристичного рівняння (14). Тоді наявність у нього двох різних коренів (дійсних або комплексних) можна висловити символічно таким чином:
Якщо ж характеристичне рівняння має два дійсних рівних корені , то цей факт можна символічно подати так:
6.5. Лінійні неоднорідні рівняння
6.5.1. Структура загального розв"язку
Теорема 6 (структура загального розв"язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння). Загальний розв"язок лінійного неоднорідного дифе-ренціального рівняння дорівнює сумі загального розв"язку відповідного однорідного рівняння та якого-небудь частинного розв"язку даного рівнян-ня,
. ( 18 )
■ Нехай, наприклад,
- загальний розв"язок лінійного однорідного рівняння (3), яке відповідає неоднорідному рівнянню (1) другого порядку. Тут - два лінійно незалежних розв"язки однорідного рівняння (3) на якомусь відрізку . Функція
є на розв"язком рівняння (1) для будь-яких значень сталих , оскільки
.
Нам треба тільки показати, що для довільних початкових умов (2) можна знайти значення сталих так, щоб задовольнити ці умови.
Оскільки
,
ми дістаємо систему лінійних алгебричних рівнянь відносно , а саме:
Система має єдиний розв"язок, бо її головний визначник є значенням вронскіана розв"язків рівняння (3), а тому відмінний від нуля внаслідок лінійної незалежності останніх і теореми 4.■
Приклад 11. Функція
є загальним розв"язком диференціального рівняння
.
Дійсно, функція
є загальним розв"язком відповідного однорідного рівняння
(див. приклади 5, 6), а функція
- частинним розв"язком даного рівняння.
6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1
Нехай ми шукаємо загальний розв"язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку (1). Ми можемо разом з Лаґранжем здійснити це в наступні два етапи.
1. Спочатку ми шукаємо загальний розв"язок
відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (3), де - два його лінійно незалежні частинні розв"язки (на деякому відрізку).
2. Шукатимемо тепер загальний розв"язок вихідного рівняння (1) в тому ж самому вигляді, що й загальний розв"язок рівняння (3), але трактуючи не як довільні сталі, а як невідомі функції, саме:
. ( 19 )
Знайдімо спочатку першу похідну шуканої функції,
,
а потім припустімо, що
.
Тоді
.
Підставляючи значення функцій в рівняння (1), матимемо
.
Дістаємо систему лінійних алгебричних рівнянь відносно похідних функцій
( 20 )
Розв"язуючи систему (20), отримуємо
,
де деякі відомі функції. Інтеґруючи, остаточно маємо
( 21 )
де - довільні сталі. Загальний розв"язок рівняння (1) дається формулою
. ( 22 )
Якщо подати загальний розв"язок (22) у вигляді
,
побачимо, що функція
є загальним розв"язком відповідного однорідного рівняння (3), а функція
- частинним розв"язком вихідного неоднорідного рівняння (1). Отже, формула (22) має саме ту структуру, яка визначена Теоремою 6 (і формулою (18)).
Приклад 12. Знайти загальний розв"язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку
.
Записуємо спочатку відповідно однорідне рівняння
.
Його характеристичне рівняння
має рівні дійсні корені , а тому однорідне рівняння має (на множині всіх дійсних чисел) два лінійно незалежні частинні розв"язки
і загальний розв"язок
2. Тепер шукаємо загальний розв"язок даного рівняння у вигляді
За формулою (20) дістаємо систему лінійних алгебричних рівняння відносно относительно і розв"язуємо її. Маємо
Інтеґрування дає
,
звідки знаходимо загальний розв"язок даного диференціального рівняння
.
Приклад 13. Розв"язати задачу Коші
.
Для відповідного однорідного рівняння
знаходимо лінійно незалежні частинні розв"язки
і загальний розв"язок
.
2. Тепер шукаємо загальний розв"язок даного рівняння у вигляді
.
За формулою (20) отримуємо, а далі розв"язуємо систему лінійних алгебричних рівняння відносно .
Інтеґруючи, знаходимо функції ,
.
Загальний розв"язок даного рівняння є
.
3. Нарешті знаходимо значення сталих з початкових умов. Для зручності знайдімо спочатку похідну шуканої функції
,
а потім - значення функцій в точці ,
.
На підставі початкових умов повинні мати
.
Звідси отримуємо систему рівнянь відносно сталих ,
Шуканий розв"язок задачі Коші
.