- •Диференціальні рівняння
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків
- •5.1. Загальні поняття
- •5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними
- •5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)
- •5.2.4. Лінійні рівняння
- •5.2.5. Рівняння Бернуллі
- •5.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які припускають зниження порядку
- •5.3.1. Рівняння вигляду .
- •5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.
- •5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.
- •6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •6.1. Загальні поняття
- •6.2. Лінійна залежність і незалежність функцій і розв"язків лінійних диференціальних рівнянь
- •6.3. Структура загального розв"язку лінійного однорідного диференціального рівняння
- •6.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими дійсними коефіцієнтами
- •6.4.1. Характеристичне рівняння
- •6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні
- •6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні
- •6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні
- •6.5. Лінійні неоднорідні рівняння
- •6.5.1. Структура загального розв"язку
- •6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1
- •6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів
- •6.5.4. Принцип суперпозиції
- •7. Нормальні системи диференціальних рівнянь
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку
- •8. Поняття про наближені методи інтеґрування диференціальних рівнянь
- •8.1. Метод послідовних наближень
- •8.2. Метод ейлера1
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків 312
5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
Існують диференціальні рівняння першого порядку, інтеґрування (розв"я-зання) яких зводиться до обчислення невизначених інтеґралів, або, як часто кажуть, до квадратур. До таких рівнянь відносяться зокрема рівняння з відокремленими або відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, рівняння Бернуллі, до розгляду яких ми приступаємо.
5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними
Означення 9. Диференціальне першого порядку вигляду
, ( 7 )
де змінні x, y відокремлені (знаходяться в різних місцях), називається рівнянням з відокремленими змінними.
Теорема 3. Загальний розв"язок (згідно з зауваженням 1 - загальний інтеґрал ) диференціального рівняння (7) має вигляд
, ( 8 )
де під виразами
розуміють деякі первісні (а не невизначені інтеґрали!) функцій відповідно.
■Частина 1.
a) Нехай функція є розв"язком рівняння (7), тобто тотожно маємо
.
Інтеґруючи тотожність по x, ми отримаємо рівність (8), а саме:
.
b) Навпаки, нехай функція задовольняє рівність (8), тобто тотожно
.
Диференціюючи тотожність, маємо
,
звідки бачимо, що функція є розв"язком рівняння (7).
Таким чином, кожний розв"язок рівняння (7) задовольняє рівність (8) і навпаки, кожна функція, яка задовольняє рівність (8), є розв"язком рівняння (7).
Частина 2. Щоб довести можливість вибору значення C так, щоб задовольнити початкову умову
, ( 9 )
запишемо первісні в формулі (8) у вигляді визначених інтеґралів з змінними межами інтеґрування,
.
На підставі початкової умови (9) дістаємо
.■
Зауваження 3. Взявши , отримаємо . Таким чином, роз-в"язок задачі Коші для рівняння (7) з початковою умовою (9) можна записати в найпростішому вигляді
. (10)
Зауваження 4. Інтеґрування диференціального рівняння (7) зводиться до більш простої задачі, а саме – до відшукання первісних (до квадратур). І не важливо, якщо принаймні одна з первісних не може бути вираженою через елементарні функції.
Приклад 4. Диференціальне рівняння
є рівнянням з відокремленими змінними. Його загальний розв"язок дається формулою
.
Обидві первісні
, ,
як відомо, не виражаються через елементарні функції, але задача інтеґрування диференціального рівняння вважається розв"язаною.
5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними
Означення 10. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними (або рівнянням з змінними, які відокремлюються), якщо його можна звести до рівняння з відокремленими змінними.
Таким є, наприклад, диференціальне рівняння
( 11 )
за умови .
Достатньо записати похідну у вигляді , помножити обидві частини рівняння на і поділити на ,
.
Таким чином, загальний розв"зок рівняння (11) дається формулою
. ( 12 )
До того ж типу рівнянь з відокремлюваними змінними належить таке рівняння
( 13 )
у випадку . Ми дістаємо рівняння з відокремленими змінними, поділивши обидві частини рівняння на ,
,
і загальним розв"язком вихідного рівняння є
. ( 14 )
Приклад 5. Диференціальне рівняння
має вигляд (13), де
,
і є рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділивши обидві його частини на добуток , маємо
,
звідки
.
Зауваження 5. Задля більшої простоти ми можемо записувати довільну сталу C в різних формах.
Например, візьмемо в попередньому прикладі довільну сталу у вигляді (замість C). Тоді матимемо
.
Покладаючи остаточно , дістаємо загальний розв"язок рівняння в більш простому вигляді
,
або
.
Приклад 6. Компанія на теперішній час має 1680 одиниць деякої продукції, і ця кількість поповнюється з швидкістю 900 одиниць в місяць (од/міс). Зараз попит має швидкість 800 од/міс, але поступово зменшується з швидкістю 10 (од/міс). Компанія хоче скорочувати випуск продукції з швидкістю n од/міс з тим, щоб реалізувати її всю протягом року. Знайти значення n.
Нехай - кількість одиниць продукції, які є в наявності в компанії в момент часу t. Очевидно, . Швидкість зміни кількості продукції в момент t дорівнює
.
Відомо, що
,
де - швидкість виробництва, а - швидкість продажу. За умови задачі
,
або
.
Ми дістаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно з початковою умовою
,
так що треба розв"язати для рівняння задачу Коші. З рівняння маємо
,
з початкової умови знаходимо , і
.
Щоб продати всю продукцію протягом року ми повинні мати
,
звідки випливає, що .
Відповідь: компанії необхідно скоротити випуск продукції з швидкістю n = 50 од/міс.
Приклад 7 (задача з демографічним змістом). Швидкість зростання кількості населення в довільний момент часу пропорційна кількості населення в цей момент (з кофіцієнтом пропорційності k). Знайти кількість населення в довільний момент t, якщо вона дорівнює в початковий момент .
Нехай - кількість населення в момент часу t (очевидно, що ). Швидкість зростання кількості населення в цей момент
.
Згідно з умовою
.
Отже,
,
і ми повинні розв"язати задачу Коші.
Диференціальне рівняння задачі – з відокремлюваними змінними,
,
.
Таким чином, ми отримали експоненційне зростання кількості населення за умови відсутності якихось стримуючих факторів (зниження життєвого рівня, заходів по зниженню народжуваності і т.ін.).
Приклад 8 (геометрична задача). Знайти криву, яка проходить через точку , якщо відрізок її довільної дотичної між точкою дотику і віссю ді-литься точкою перетину відрізка з віссю в даному відношенні 5 : 8, рахуючи від осі (див. рис. 1). Рис. 1 З умови випливає , що шукана крива не може перетинати координатні осі і тому повинна знаходитись в першому квадранті.
Нехай - шукане рівняння кривої, - довільна точка кривої, яка є точкою дотику, . Тоді ,
(рис. 1).
Згідно з умовою
Отримали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, отримуємо
,
.
За допомоги початкової умови знаходимо значення сталої і розв"зок задачі Коші,
.
Існує інший спосіб виведення диференціального рівняння задачі, заснований на використанні рівняння дотичної до кривої в її довільній точці .
Дісно, нехай - координати довільної (поточної) точки дотичної. Тоді рівняння дотичної можна записату у вигляді
.
Покладаючи в цьому рівнянні , отримаємо
.
Тепер на підставі умови задачі маємо
звідки
.