5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)

Означення 11. Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним (відносно змінних x, y), якщо його можна подати у вигляді

, ( 15 ) де функція в правій частині залежить тільки від відношення змінних.

Теорема 4. Однорідне диференціальне рівняння (15) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними введенням нової шуканої функції

. ( 16 )

■Знаходячи та підставляючи його значення в рівняння, маємо

.

Отримане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними за умови

.

Дійсно, в цьому випадку

.■

Зауваження 6. Можна довести, що диференціальне рівняння вигляду

( 17 )

є однорідним, якщо для будь-якого виконується умова

.

■Дійсно, покладаючи , можемо подати праву частину рівняння (17) у вигляді функції від відношення :

.■

Більш загальне диференціальне рівняння

( 18 )

є однорідним, якщо для будь-якого існує число k таке, що одночасно

і .

Доведіть це твердження самостійно.

Приклад 9. Розв"язати задачу Коші

.

Поділимо обидві частини рівняння на x. Отримаємо диференціальне рівняння вигляду (15),

в якому права частина

є функцією від відношення . Отже, задане рівняння є однорідним. Діючи згі-дно з теорією, маємо

Дякуючи довільності сталої C, ми можемо відкинути тут знаки абсолютної величини, звідки

.

Початкова умова дає

.

Шуканий розв"язок задачі Коші

,

або

.

Приклад 10. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння

.

Рівняння є однорідним, оскільки для довільного маємо

.

Однорідність рівняння можна встановити без залучення . Перепишемо для цього його у вигляді

та поділимо чисельник і знаменник дробу праворуч на

.

В отриманому рівнянні права частина є функцією від відношення , що доводить однорідність даного рівняння. На підставі теорії, застосованої до перетвореного рівняння, дістаємо

Приклад 11. Знайти криву, яка проходить через точку , якщо піддотична в довільній її точці дорівнює сумі координат цієї точки.

З умови випливає, що шукана крива не може перетинати вісь Ox і тому знаходиться вище неї.

Нехай - рів-няння шуканої кривої, і - від-повідно відрізки дотичної і нормалі до кривої в довільній її точці , і (див. рис. 2 для випадку ). Напрямлені відрізки і називаються відповідно піддо- Рис. 2 тичною та піднормаллю до кривої в точці .

З прямокутного трикутника (у випадку точка A лежить ліворуч від точки N, рис. 2, у випадку - праворуч) маємо

;

те ж саме значення для можна отримати, виходячи з рівняння дотичної до шуканої кривої в точці . Дійсно, рівняння дотичної має вигляд

Покладаючи тут , матимемо

.

Довжина піддотичної дорівнює

,

і на підставі умови ми дістаємо диференціальне рівняння

з початковою умовою

.

Таким чином, ми повинні розв"язати задачу Коші.

1. Перший випадок

.

Для визначення типу рівняння запишемо його у вигляді

і поділимо чисельник і знаменник дробу на x,

.

Ми бачимо, що отримане рівняння має вигляд (15), а отже дане рівняння є однорідним. Використовуючи теорію, матимемо

.

Початкова умова дає

.

Шукана крива має наступне рівняння:

, .

2. Другий випадок

.

Інтеґрування рівняння (яке також є однорідним) дає

Початкова умова може виконуватись тільки у випадку :

,

і отже шукана крива дається рівнянням

.

Відповідь. Поставлена задача має два розв"язки:

, .