6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів

Нехай дано лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з сталими коефіцієнтами. Якщо вільний член рівняння має спеціальний вигляд (див. нижче), ми можемо знайти частинний розв"язок неоднорідного рівняння методом невизначених коефіцієнтів, не вдаючись до інтеґрування.

Зупинимось на лінійному диференціальному рівняння другого порядку

( 23 )

з сталими коефіцієнтами .

1. Нехай вільним членом рівняння (23) є так званий квазіполіном, тобто добуток показникової функції на деякий многочлен n-го степеня,

. ( 24 )

В такому разі ми шукаємо частинний розв"язок рівняння у вигляді

, ( 25 )

де

( 26 )

- многочлен того ж степеня, що й у формулі (24), але з невизначеними коефіцієнтами , а число r визначається наступними умовами:

а) , якщо не є коренем характеристичного рівняння;

б) , якщо є простим коренем характеристичного рівняння;

в) , якщо є двократним коренем характеристичного рівняння.

Нехай, зокрема, вільний член рівняння (23) є многочленом n-го степеня (випадок )

. ( 27 )

Тоді ми шукаємо частинний розв"язок у вигляді

, ( 28 )

де

( 29 )

- многочлен того ж степеня, що і в формулі (27), але з невизначеними коефіці-єнтами, а число r визначається умовами:

а) , якщо 0 не є коренем характеристичного рівняння;

б) , якщо 0 є простим коренем характеристичного рівняння;

в) , якщо 0 є двократним коренем характеристичного рівняння.

2. Розглянемо тепер випадок, коли вільний член рівняння (23) має вигляд ( 30 )

( - відомі сталі). В такому разі ми шукаємо частинний розв"язок рівняння у вигляді

, ( 31 )

де M, N – невизначені коефіцієнти, а число визначене умовами:

а) , якщо не є коренем характеристичного рівняння;

б) , якщо є коренем характеристичного рівняння.

Якщо, зокрема,

( 32 )

(випадок ), ми шукаємо частинний розв"язок у вигляді

, ( 33 )

де M, N – невизначені коефіцієнти, а число визначене умовами:

а) , якщо не є коренем характеристичного рівняння;

б) , якщо є коренем характеристичного рівняння.

Приклад 14. .

1. Відповідне однорідне рівняння

(див. приклад 7). Корені характеристичного рівняння дорівнюють – 2, - 3, загальний розв"язок рівняння

.

2. Далі ми шукаємо частинний розв"язок даного (неоднорідного) рівняння. Відповідно до формул (24), (25), (26) (тут ; число є простим коренем характеристичного рівняння, так що ) шукаємо частинний розв"язок у вигляді

.

Знаходячи похідні функції ,

,

,

ми підставляємо значення функцій в дане рівняння і після зведення подібних членів отримуємо

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, приходимо до системи лінійних алгебричних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів , а саме:

Таким чином,

,

і загальний розв"язок даного рівняння дається наступним виразом:

.

Приклад 15. .

1. Відповідне однорідне рівняння

(див. приклад 8). Його характеристичне рівняння дійсні рівні корені (або ж один, але двократний корінь ), і

.

2. Використовуючи ті ж самі формули (24), (25), (26) (тут а число є двократним коренем характеристичного рівняння, так що ), ми шу-каємо частинний розв"язок даного рівняння у вигляді

,

(з невизначеним коефіцієнтом ), так що

.

Підстановка функцій в задане рівняння дає

і отже

,

.

Приклад 16. .

1. Відповідне однорідне рівняння

розглядалося в прикладі 9. Його характеристичне рівняння має комплексні корені , а його загальний розв"язок є

.

2. Для знаходження частинного розв"язку даного рівняння ми використоваємо формули (32), (33) ( число , бо не є коренем характеристичного рівняння). Ми шукаємо частинний розв"язок у вигляді

.

Оскільки

,

підстановка значень функцій в дане рівняння дає

.

Прирівнюючи коефіцієнти при , дістаємо систему рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів M, N

.

Приклад 17. Розв"язати задачу Коші

.

1. Для відповідного однорідного рівняння

ми маємо характеристичне рівняння з комплексними коренями , отже,

.

2. Для знаходження частинного розв"язку вихідного рівняння візьмемо до уваги формули (30), (31) ( число є коренем характеристичного рівняння, а тому ). Покладаємо

з невизначеними коефіцієнтами . Знаходячи похідні

,

та підставляючи значення функцій в дане рівняння, отримаємо тотожність

.

Прирівнюємо коефіцієнти при , дістаючи систему рівнянь відносно M, N

і тому

.

3. Для знаходження відповідних значень сталих врахуємо початкові умови.

.

Шуканий розв"язок задачі Коші дається формулою

.