- •Диференціальні рівняння
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків
- •5.1. Загальні поняття
- •5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними
- •5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)
- •5.2.4. Лінійні рівняння
- •5.2.5. Рівняння Бернуллі
- •5.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які припускають зниження порядку
- •5.3.1. Рівняння вигляду .
- •5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.
- •5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.
- •6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •6.1. Загальні поняття
- •6.2. Лінійна залежність і незалежність функцій і розв"язків лінійних диференціальних рівнянь
- •6.3. Структура загального розв"язку лінійного однорідного диференціального рівняння
- •6.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими дійсними коефіцієнтами
- •6.4.1. Характеристичне рівняння
- •6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні
- •6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні
- •6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні
- •6.5. Лінійні неоднорідні рівняння
- •6.5.1. Структура загального розв"язку
- •6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1
- •6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів
- •6.5.4. Принцип суперпозиції
- •7. Нормальні системи диференціальних рівнянь
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку
- •8. Поняття про наближені методи інтеґрування диференціальних рівнянь
- •8.1. Метод послідовних наближень
- •8.2. Метод ейлера1
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків 312
5.2.4. Лінійні рівняння
Означення 12. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння вигляду
( 19 )
де коефіцієнт і вільний член - відомі функції.
Теорема 5. Інтеґрування лінійного диференціального рівняння (19) зводиться до послідовного інтеґрування двох диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.
■Шукатимемо ненульовий розв"язок рівняння (19) у вигляді добутку двох інших невідомих функцій ,
. ( 20 )
Диференціюючи і підставляючи значення в рівняння, маємо
.
Наявність двох невідомих функцій дає можливість накласти на одну з них певну додаткову умову. Саме, знайдімо яку-нибудь функцію , котра анулює вираз в дужках. Для її відшукання і завершення інтеґрування рівняння ми повинні розглянути два допоміжні диференціальні рівняння, а саме
, (*)
. (**)
Очевидно, обидва вони є рівняннями з відокремлюваними змінними, причому нам достатньо знайти тільки якийсь частинний розв"язок першого.
Інтеґрування рівняння (*) дає
Оскільки нам потрібен якийсь один частинний розв"язок рівняння (*), ми можемо надати довільній сталій будь-якого ненульового значення, наприклад , і отримати потрібну нам функцію
Підставляючи знайдене значення в рівняння (**), знаходимо його загальний розв"язок,
.
Остаточно ми дістаємо загальний розв"язок рівяння (19), а саме
■
Приклад 12. Проінтеґрувати диференціальне рівняння
.
Дане рівняня є лінійним, в якому
.
Згідно з теорією покладаємо
,
а тому
.
Ми повинні послідовно проінтеґрувати два рівняння
, (*)
. (**)
Що стосується рівняння (*), маємо
,
;
з огляду на довільність ми можемо відкинути знаки абсолютної величини і написати
,
а потім взяти якусь одну з знайденої множини функцій, наприклад
.
Переходячи до рівняння (**), отримуємо
.
Тепер знаходимо загальний розв"язок даного диференціального рівняння
.
Приклад 13. Проінтеґрувати диференціальне рівняння
.
Перепишемо рівняння наступним чином:
, , , .
Ми бачимо, що отримане диференціальне рівняння є лінійним відносно шуканої функції . Це дозволяє нам діяти таким чином:
, (*)
. (**)
Розв"язуючи перше рівняння (*), маємо
.
Взявши , інтеґруємо рівняння (**), тобто
.
Загальним розв"язком заданого рівняння є
.
Приклад 14 (потік фондів). Нехай - кількість фондів в момент часу t. Знецінення фондів протягом інтервалу часу дорівнює , де - деякий коефіцієнт знецінення. Зростання кількості фондів за той же інтервал часу дорівнює , де I – відома річна кількість інвестицій, а - деякий коефіцієнт (0< <1 внаслідок того, що не всі інвестиції вкладаються в фонди). Величина фондів в момент часу дорівнює
.
Швидкість руху фондів в момент часу t дорівнює
.
Ми дістали задачу Коші для рівняння
з початковою умовою
.
Коефіцієнти рівняння і величина I можуть бути як сталими, так і відомими функціями від t. В цьому випадку отримане диференціальне рівняння є лінійним. Більш того, величина I може бути рівною добутку функції від t і n-го степеня шукакої функції K(t). В такому разі ми зустрічаємось з рівнянням ще одного типу, а саме з так званим рівнянням Бернуллі1.