- •Диференціальні рівняння
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків
- •5.1. Загальні поняття
- •5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними
- •5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)
- •5.2.4. Лінійні рівняння
- •5.2.5. Рівняння Бернуллі
- •5.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які припускають зниження порядку
- •5.3.1. Рівняння вигляду .
- •5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.
- •5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.
- •6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •6.1. Загальні поняття
- •6.2. Лінійна залежність і незалежність функцій і розв"язків лінійних диференціальних рівнянь
- •6.3. Структура загального розв"язку лінійного однорідного диференціального рівняння
- •6.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими дійсними коефіцієнтами
- •6.4.1. Характеристичне рівняння
- •6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні
- •6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні
- •6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні
- •6.5. Лінійні неоднорідні рівняння
- •6.5.1. Структура загального розв"язку
- •6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1
- •6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів
- •6.5.4. Принцип суперпозиції
- •7. Нормальні системи диференціальних рівнянь
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку
- •8. Поняття про наближені методи інтеґрування диференціальних рівнянь
- •8.1. Метод послідовних наближень
- •8.2. Метод ейлера1
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків 312
5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків 312
5.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ 312
5.2. ІНТЕҐРОВНІ ТИПИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ 316
5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними 317
5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними 318
5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних) 323
5.2.4. Лінійні рівняння 328
5.2.5. Рівняння Бернуллі 332
5.3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ, ЯКІ ПРИПУСКАЮТЬ ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ 334
5.3.1. Рівняння вигляду . 334
5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції. 335
5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної. 336
6. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 340
6.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ 340
6.2. ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ І НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ФУНКЦІЙ І РОЗВ"ЯЗКІВ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 342
6.3. СТРУКТУРА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ"ЯЗКУ ЛІНІЙНОГО ОДНОРІДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ 346
6.4. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ З СТАЛИМИ ДІЙСНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ 347
6.4.1. Характеристичне рівняння 347
6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні 347
6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні 348
6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні 349
6.5. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ 351
6.5.1. Структура загального розв"язку 351
6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа 353
6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів 357
6.5.4. Принцип суперпозиції 362
7. НОРМАЛЬНІ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 365
7.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ 365
7.2. МЕТОД ВИКЛЮЧЕННЯ ДЛЯ ІНТЕҐРУВАННЯ НОРМАЛЬНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ 366
8. ПОНЯТТЯ ПРО НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ ІНТЕҐРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 369
8.1. МЕТОД ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ 369
8.2. МЕТОД ЕЙЛЕРА 371
ЗМІСТ 374
1 На ім"я Якоба Бернуллі (1654 - 1705), відомого швейцарського математика.
1 Вронський (Гене-Вронський), Юзеф Марія (1778 - 1853) – польський математик і філософ
1 Вієт, Франсуа (1540 - 1603) – французький математик
1 Лаґранж, Жозеф Луї (1736 - 1813), - видатний французький математик, механік і астроном.
1 Ейлер, Леонард (1707 - 1783), - великий вчений (швейцарець за походженням). Більша частина його життя пройшла в Росії, помер в Санкт-Петербурзі. Ейлеру належить дуже багато видатних результатів з математичного аналізу, геометрії, небесної механіки, кораблебудування та інших галузей науки.