- •Диференціальні рівняння
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків
- •5.1. Загальні поняття
- •5.2. Інтеґровні типи диференціальних рівнянь першого порядку
- •5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними
- •5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)
- •5.2.4. Лінійні рівняння
- •5.2.5. Рівняння Бернуллі
- •5.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які припускають зниження порядку
- •5.3.1. Рівняння вигляду .
- •5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.
- •5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.
- •6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •6.1. Загальні поняття
- •6.2. Лінійна залежність і незалежність функцій і розв"язків лінійних диференціальних рівнянь
- •6.3. Структура загального розв"язку лінійного однорідного диференціального рівняння
- •6.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими дійсними коефіцієнтами
- •6.4.1. Характеристичне рівняння
- •6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні
- •6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні
- •6.4.4. Корені характеристичного рівняння – комплексні
- •6.5. Лінійні неоднорідні рівняння
- •6.5.1. Структура загального розв"язку
- •6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1
- •6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів
- •6.5.4. Принцип суперпозиції
- •7. Нормальні системи диференціальних рівнянь
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку
- •8. Поняття про наближені методи інтеґрування диференціальних рівнянь
- •8.1. Метод послідовних наближень
- •8.2. Метод ейлера1
- •5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків 312
6.5.4. Принцип суперпозиції
Ми часто-густо зустрічаємось з ситуацією, коли вільний член неоднорідного рівняння є сумою декількох різних доданків спеціального вигляду. Нехай, наприклад,
. ( 34 )
Частинний розв"язок рівняння (34) дорівнює сумі (суперпозиції) частинних розв"язків наступних рівнянь:
.
■Нехай
.
Тоді
,
і тому
.
Це значить, що сума є частинним розв"язком даного рівняння (36), тобто .■
На практиці можна шукати за допомоги однієї процедури.
Приклад 18. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння
.
1. Загальнии розв"язком відповідного однорідного рівняння
є функція
,
оскільки характеристичне рівняння має два рівних дійсних корені (або ж один двократний корінь ).
2. Вільний член заданого рівняння є сумою трьох доданків
.
На підставі принципу суперпозиції і формул (27) - (28), (24) - (26), (32) - (33) ми можемо послідовно знайти частинні розв"язки трьох неоднорідних рівнянь
,
а потім утворити їх суму. Але краще зразу знайти частинний розв"язок даного рівняння у вигляді суми таких розв"язків, саме:
.
Оскільки
підстановка значень функцій в дане рівняння дає
.
Після відповідного перегруповування доданків,
,
ми дістаємо:
а)
б)
в) .
Таким чином,
,
так що загальний розв"язок заданого рівняння має вигляд
.
7. Нормальні системи диференціальних рівнянь
7.1. Загальні поняття
Означення 1. Нормальною системою диференціальних рівнянь першого порядку з n невідомими функціями називається система
( 1 )
Означення 2. Розв"яком нормальної системи (1) називається впорядкована множина n функцій яка задовольняє кожне її рівняння.
Означення 3. Задачею Коші для нормальної системи (1) називається задача знаходження розв"язку системи, що задовольняє початкові умови
( 2 )
Теорема 1. Якщо функції та їх перші частинні похідні по неперервні в деякій області D -вимірного простору , то для будь-якої точки
задача Коші (1), (2) має розв"язок, причому єдиний.
Означення 4. Загальним розв"язком нормальної системи (1) (в області D, що фігурує в теоремі 1) називається впорядкована множина n функцій
,
що містять n довільних сталих, яка задовольняє дві умови: a) ця множина є роз-в"язком системи для будь-яких значень сталих ; b) для будь-яких початкових умов (2) (якщо ) можна знайти значення сталих , щоб задовольнити ці умови.
Теорема 2. Будь-яка система диференціальних рівнянь довільного порядку, зокрема диференціальне рівняння n-го порядку можна звести до нормальної системи рівнянь першого порядку.
■Нехай, наприклад, дано диференціальне рівняння третього порядку
.
Покладаючи , ми отримаємо
тобто нормальну систему рівнянь першого порядку відносно шуканих функцій .■
7.2. Метод виключення для інтеґрування нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку
Теорема 3. Нормальну систему диференціальних рівнянь (1) можна, як правило, звести до одного диференціального рівняння n-го порядку за допомогою так званого метода виключення.
■Обмежмося нормальною системою двох лінійних рівнянь з сталими коефіцієнтами відносно шуканих функцій
( 3 )
Продиференціюємо перше рівняння та замінимо похідні шуканих функцій правими частинами рівнянь системи. Матимемо
, ( 4 )
де
.
З першого рівняння системи знайдемо (якщо це можливо) і підставимо його значення в рівняння (4),
, ( 5 )
,
, ( 6 )
де
.
Таким чином, систему (3) зведено до диференціального рівняння (6) другого порядку.■
Нехай тепер
- загальний розв"язок диференціального рівняння (6). Знаходячи з (5),
,
отримуємо загальний розв"язок системи рівнянь (3)
.
Приклад 1. Розв"язати задачу Коші для системи рівнянь
з початковими умовами .
Застосовуючи викладену теорію, маємо
.
Загальний розв"язок системи
.
Враховуючи далі початкові умови, отримуємо
Шуканий розв"язок задачі Коші
.
Приклад 2. Знайти загальний розв"язок системи рівнянь
На підставі теорії
,
а) ;
б)
,
,
.
Шуканий загальний розв"язок має вигляд
.