6.3. Структура загального розв"язку лінійного однорідного диференціального рівняння

Теорема 5. Якщо - два лінійно незалежних розв"язки лінійного однорідного диференціального рівяння (3) другого порядку, то загальний розв"язок рівняння має вигляд

, ( 11 )

де - довільні сталі.

■Функція

є розв"язком рівняння (3) для будь-яких значень на підставі наслідку з властивостей 1, 2 розв"язків лінійного однорідного диференціального рівняння (див. п. 6.1). Тому згідно з означенням 8 з п. 5.1 треба довести, що для довільних початкових умов (2) можна знайти значення сталих так, щоб задовольнити ці умови. Але

,

і, отже, йдеться про сумісність системи лінійних алгебричних рівнянь відносно

Система ж є сумісною і має єдиний розв"язок, бо її головний визначник

відмінний від нуля внаслідок лінійної незалежності розв"язків і теореми 4.■

Приклад 6. Функція

з двома довільними сталими є загальним розв"язком рівняння

про яке йшлося в прикладі 5.

Аналогічна теорема є справедливою для лінійного однорідного диференціального рівняння довільного порядку .

6.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими дійсними коефіцієнтами

6.4.1. Характеристичне рівняння

Нехай дано лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку

( 12 )

з сталими дійсними коефіцієнтами .

Шукатимемо розв"язки рівняння (12) у вигляді

, ( 13 )

де k – невідоме число (дійсне або, може, комплексне). Знаходячи похідні функції (13)

та підставляючи значення функцій в рівняння, отримуємо

( 14 )

Задача інтеґрування рівняння (12) зводиться до розв"язання квадратного рівняння (14), яке називається характеристичним рівняням. Залежно від знака дискримінанта

характеристичного рівняння ми повинні розглянути три випадки.

6.4.2. Корені характеристичного рівняння – дійсні і різні

Нехай дискримінант рівняння (14) додатний, і, отже, характеристичне рів-няння має два дійсних різних корені ,

.

Ми дістаємо два частинні розв"язки даного диференціального рівняння

причому лінійно незалежні, оскільки на підставі їх відношення не є тотожно сталим,

.

Отже, з огляду на теорему 5 загальний розв"язок рівняння (12) дається функцією

. ( 15 )

Приклад 7. .

Характеристичне рівняння диференціального рівняння

має два дійсних різних корені , так що диференціальне рівняння має два лінійно незалежні частинні розв"язки

і загальний розв"язок

.

6.4.3. Корені характеристичного рівняння – дійсні рівні

Нехай дискримінант характеристичного рівняння дорівнює нулю. В такому випадку характеристичне рівняння має тільки один корінь . Математично точніше сказати, що воно має кратний (ще точніше – двократний) корінь, або що воно має два дійсних рівних корені .

У випадку дійсних рівних коренів характеристичного рівняння ми маємо тільки один частинний розв"язок диференціального рівняння, а саме

.

Отже, нам треба знайти ще один частинний розв"язок , лінійно незалежний з першим. Але за теоремою Вієта¹

,

так що рівняння (12) має в нашому випадку вигляд

( 16 )

і має очевидний розв"язок

.

Дісно,

,

і післе підстановки значень функцій в рівняння (16) отримуємо

.

Розв"язки лінійно незалежні, бо

.

Отже, загальний розв"язок рівняння (12) (рівняння (16) в даному випадку) є

. ( 17 )

Приклад 8. .

Характеристичне рівняння

має дійсні рівні корені . Тому диференціальне рівняння має два лінійно незалежні частинні розв"язки

і загальний розв"язок

.