- •3. Застовування диференціального числення
- •3.1. Дослідження функцій однієї змінної
- •3.1.1. Умови зростання і спадання функці
- •3.1.2. Локальні екстремуми
- •3.1.3. Абсолютні екстремуми
- •3.1.4. Опуклість, угнутість, точки перегину кривих
- •3.1.5. Асимптоти
- •3.1.6. Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків
- •I. Перша частина.
- •I. Перша частина.
- •II. Друга частина.
- •III. Третя частина.
- •I. Перша частина.
- •3.1.7. Текстові екстремальні задачі
- •3.2. Екстремуми функцій декількох змінних
- •3.2.1. Локальні екстремуми а. Означення
- •Б. Необхідна умова існування локального екстремуму
- •В. Достатня умова існування локального екстремуму
- •3.2.2. Метод найменших квадратів
- •3.2.3. Умовні екстремуми а. Означення
- •Б. Необхідна умова існування умовного екстремуму
- •В. Достатня умова існування умовного екстремуму
- •3.2.4. Абсолютні екстремуми
- •Деякі українсько-російські терміни і словосполучення. Частина 1 Дійсні числа
- •Відображення і функція
- •Комплексні числа і многочлени
- •Вступ до аналізу
- •Диференціальне числення
- •Застосування диференціального числення
- •3. Застовування диференціального числення 119
- •3.1. Дослідження функцій однієї змінної 119
- •3.2. Екстремуми функцій декількох змінних 147
3.2.3. Умовні екстремуми а. Означення
Найпростіша задача на умовний екстремум:
Знайти екстремуми функції двох змінних
( 26 )
за умови, що x і y зв"язані рівнянням [умовою, обмеженням, співвідношенням]
. ( 27 )
Геометричний сенс задачі полягає у відшуканні екстремумів функції
в точках кривої, визначеної рів-нянням (27).
Умовний максимум функ-ції двох змінних на кривій показано на рис. 4. Він дорівнює
,
і функція досягає його в точці кривої. Для порів-няння на рис. 4 показано локаль-ний максимум тієї ж функції
,
Рис. 4 який відрізняється від умовного максимуму.
Загальна задача на умов-ний екстремум: Знайти екстремуми функції n змінних
( 28 )
за умови, що змінні пов"язані наступними рівняннями [умовами, обмеженнями, співвідношеннями]:
( 29 )
Б. Необхідна умова існування умовного екстремуму
Найпростіша задача (26), (27) на умовний екстремум.
Нехай умовний екстремум реалізується в точці , і принаймні одна частинна похідна функції відмінна від нуля в цій точці, наприклад
. ( 30 )
В цьому випадку рівняння (27) визначає y як неявну функцію від x в деякому околі точки ,
. ( 31 )
Якщо ми можемо безпосередньо знайти y з рівняння (27), то приходимо до задачі на звичайний локальний екстремум функції однієї змінної . Необхідна умова існування такого экстремуму є детальніше
. ( 32 )
Насправді нема необхідності выражати через x з рівняння (27). Достатньо просто взяти до уваги, що y є функцією від x, неявно заданою цим рівнянням, і на підставі цього розглядами (27) як тотожність відносно x. Після його диференціювання (по x) отримуємо для точки
. ( 33 )
Тепер з (32) і (33) маємо
( 34 )
Якщо позначити рівні відношення (34) символом , де - деяке число, яке звичайно називається невизначеним множником Лагранжа, отримаємо
,
Таким чином, ми довели таку теорему:
Теорема 4 (необхідна умова існування умовного екстремуму). Якщо функція двох змінних досягає умовного екстремуму в точці , то її координати задовольняють наступну систему рівнянь відносно :
( 35 )
Систему (35) легко запам"ятати, якщо ввести наступну допоміжну функцію (функцію Лагранжа)
. ( 36 )
Необхідна умова існування умовного екстремуму (26), (27) переходить в систему рівнянь
( 37 )
Означення 6. Кожний розв"язок системи (37) називається стаціонарною точкою функції Лагранжа (36). Відповідну геометричну точку можна назвати стаціонарною точкою вихідної функції (для найпростішої задачі на умовний екстремум (26), (27)).
З означення 6 і теореми 4 випливає, що функція може досягати умовного екстремуму тільки в стаціонарній точці функції Лагранжа.
Загальна задача (28), (29) на умовний екстремум
В загальній задачі на умовний екстремум вводять таку функцію Лагранжа:
( 38 )
Теорема 5 (необхідна умова існування умовного екстремуму). Якща функція n змінних досягає умовного екстремуму в точці , то її координати задовольняють систему рівнянь відносно
или ( 39 )
Означення 7. Кожний розв"язок системи рівнянь (39) називається стаціонарною точкою функції Лагранжа (38). Відповідна геометрична точка часто-густо називається стаціонарною точкою функції (для загальної задачі на умовний екстремум (28), (29)).
Функція може досягати умовного екстремуму тількі в стаціонарній точці функції Лагранжа.