- •3. Застовування диференціального числення
- •3.1. Дослідження функцій однієї змінної
- •3.1.1. Умови зростання і спадання функці
- •3.1.2. Локальні екстремуми
- •3.1.3. Абсолютні екстремуми
- •3.1.4. Опуклість, угнутість, точки перегину кривих
- •3.1.5. Асимптоти
- •3.1.6. Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків
- •I. Перша частина.
- •I. Перша частина.
- •II. Друга частина.
- •III. Третя частина.
- •I. Перша частина.
- •3.1.7. Текстові екстремальні задачі
- •3.2. Екстремуми функцій декількох змінних
- •3.2.1. Локальні екстремуми а. Означення
- •Б. Необхідна умова існування локального екстремуму
- •В. Достатня умова існування локального екстремуму
- •3.2.2. Метод найменших квадратів
- •3.2.3. Умовні екстремуми а. Означення
- •Б. Необхідна умова існування умовного екстремуму
- •В. Достатня умова існування умовного екстремуму
- •3.2.4. Абсолютні екстремуми
- •Деякі українсько-російські терміни і словосполучення. Частина 1 Дійсні числа
- •Відображення і функція
- •Комплексні числа і многочлени
- •Вступ до аналізу
- •Диференціальне числення
- •Застосування диференціального числення
- •3. Застовування диференціального числення 119
- •3.1. Дослідження функцій однієї змінної 119
- •3.2. Екстремуми функцій декількох змінних 147
3.2. Екстремуми функцій декількох змінних
3.2.1. Локальні екстремуми а. Означення
В цьому розділі ми розглядатимемо тільки двічі неперервно диференційовні функції декількох змінних.
Рис. 1
Означення 1. Точка називається точкою лока-льного максимуму функції n змінних , якщо існує окіл точки , такий, що для будь-якої точки виконується нерівність
( 1 )
Значення функції в точці , тобто , називаеться локальним максиму-мом функції.
Аналогічно означається точка локального мініимуму и локальний мі-німум функції n змінних. Терміни локальний максимум і локальний мінімум об"єднуються, як завжди, загальним терміном локальний екстремум.
Випадок локального максимуму функції двох змінних
проілюстровано на рис. 1. Точка є точкою локального максимума. Останній дорівнює
,
де - точка поверхні , графіка функції. На тому ж рисунку показано три лінії рівня функції, а саме:
.
Б. Необхідна умова існування локального екстремуму
Означення 2. Точка називається стаціонарною точкою функції n змінних , якщо в ній всі частинні похідні фунеції дорівнюють нулю,
. ( 2 )
Зауваження. В стаціонарній точці диференціал функції дорівнює нулю,
. ( 3 )
Теорема 1 (необхідна умова існування локального екстремуму). Якщо функція n змінних досягає локального экстремуму в точці , то ця точка є стаціонарною точкою функції, тобто в ній виконуються рівності (2), (3).
■Нехай і - функція однієї змінної . Якщо функція має локальный екстремум в точці , то функція має локальный екстремум в точці , а тому . Це означає, що
.
Аналогічно доводиться, що .■
З теореми 1 випливає, що (двічі неперервно диференційовна) функція може досягати локального екстремуму тільки в стаціонарній точці. Але стаціонарна точка не обов"язково є точкою локального экстремуму, тобто необхідна умова існування локального экстремуму не є достатньою.
Приклад. Точка є стаціонарною для функції двох змінних
,
але не є точкою локального екстремуму, бо для (в другому і четвертому квадрантах) і для (в першому і третьому квадрантах).
В. Достатня умова існування локального екстремуму
Щоб встановити достатню умову існування локального екстремуму, візьмемо до уваги деякі факти з теорії квадратичних форм.
Означення 3. Квадратичною формою n змінних називається вираз
. ( 4 )
Неважко помітити, що можна зобразити в матричній формі,
, ( 5 )
де матриця A називається матрицею квадратичної форми. Вона симетрична відносно головної діагоналі, оскільки .
Приклад. Квадратична форма двох змінних - це є вираз
( 6 )
з матрицею
( 7 )
Приклад. Квадратичною формою трьох змінних є вираз
Означення 4. Квадратична форма (4) називається додатно (від"ємно) визначеною, якща вона має тільки додатні (відповідно від"ємні) значення для будь-якого , тобто якщо .
Означення 5. Головними мінорами матриці (5) квадратичної форми (4) називаються її діагональні мінори
. ( 8 )
Теорема 2 (Сильвестр1). Квадратична форма (4) є додатно визначеною тоді і тільки тоді, якщо додатними є всі її головні мінори,
. ( 9)
Вона є від"ємно визначеною тоді і тільки тоді, якщо її головні мінори мають наступні альтернуючі знаки:
( 10 )
Означення 6. Матрицею Гессе функції (в довільній точці ) називається матриця, елементами якої є частинні похідні другого порядку функції, а саме:
. ( 11 )
Теорема 3 (достатня умова існування локального экстремуму в стаціо-нарній точці). Нехай - стаціонарна точка функції
,
другий диференціал якої не дорівнює тотожно нулю в цій точці (відносно ), і нехай - значення матриці Гессе (11) в цій точці.
a) Якщо всі головні мінори матриці додатні,
, ( 12 )
то точка є точкою локального мінімуму;
б) якщо знаки головних мінорів матриці є альтернуючими,
, ( 13 ) то точка є точкою локального максимуму;
в) в інших випадках локальний екстремум відсутній.
Для випадку функції двох змінних
достатню умову існування локального экстремуму в стаціонарній точці можна подати в наступній формі:
а) якщо
і , ( 12 а )
то в точці функція має локальний мінімум;
б) якщо
і , ( 13 а )
то вона має в точці локальний максимум;
в) в інших випадках локальний екстремум відсутній.
■ За формулою Тейлора (див. формулу (30) в п. 2.3.4 Г (при )) приріст (повний приріст) функції в точці дорівнює
,
де - деяка точка. За умови (3) маємо , так що
. ( 14 )
З неперервності частинних похідних другого порядку функції випливає, що знак правої частини рівності (14) в деякому околі точки збігається з знаком значення другого диференціала функції в точці . Тому, якщо в , то в , і функція має локальний мінімум в точці . Аналогічно, якщо в , то в , і функція має ло-кальний максимум в . Але (див. формулу (35) в п. 2.3.4 Г ) значення другого диференціала функції в точці дорівнює
, ( 15 )
тобто є квадратичною формою змінних с матрицею (див. (11)). На підставі теореми 2 вона додатно визначена ( при ) тоді і тільки тоді, якщо виконуються умови (12). Вона є від"ємно визначеною ( ) тоді і тільки тоді, якщо виконуються умови (13).■
Для випадку функції двох змінних доведення теореми 3 сильно спрощується. Воно не вимагає долучення теорії квадратичних форм, оскільки знак значення диференціала в стационарній точці визначається теорією квадратного тричлена. Дійсно, в цьому випадку
Якщо, наприклад, , то
,
і квадратний тричлен в дужках (відносно ) додатний (від"ємний) для всіх не рівних одночасно нулю, якщо його дискримінант
від"ємний і якщо, крім того, (відповідно ). Залишається взяти до уваги, що
Зауваження. Теорема 3 справедлива, якщо значення диференціала не дорівнює тотожно нулю (відносно ). В протилежному випадку ми повинні звернутися до більш складної теорії (з використанням диференціалів порядків, вищих 2).
Приклад. Знайти локальні екстремуми функції
.
Перший крок: знахождення стаціонарних точок функції.
Другий крок: дослідження стаціонарних точок . Для цього ми можемо скористатися як умовами (12), (13) загальної теорії, так і умовами (12 а), (13 а), які стосуються функцій двох змінних.
Розпочнімо з загальної теорії. Утворимо перш за все матрицю Гессе заданої функції. Маємо
.
а) Для точки відповідне значення матриці Гессе є
;
всі головні мінори матриці додатні,
, ;
отже, на підставі теореми 3 (умова (12)) функція має локальний мінімум в точці .
б) Для точки матриця Гессе та її головні мінори дорівнюють
; , ,
і на підставі тієї ж теореми функція не має локального экстремуму в точці .
Той же самий результат отримуємо, застосовуючи достатню умову існування локального екстремуму для випадку функцій двох змінних. Саме:
а) ,
і для точки виконується умова (12 а), а отже функція досягає в ній мінімуму;
б)
,
і в точці локальний екстремум не досягається (це зразу видно хоча б з того, що ).
Приклад. Знайти локальні екстремуми функції трьох змінних
Знаходження стаціонарних точок. Існує єдина стациінарна точка, оскільки
2. Дослідження стаціонарної точки . Частинні похідні другого порядку функції
породжують матрицю Гессе з сталими елементами, так що
головні мінори значення матриці Гессе (в стационарній точці !)
,
і, отже, функція має в точкі локальний максимум
.
Приклад. Знайти локальні екстремуми функції .
1.
Отримали дві стаціонарні точки , .
2. Тепер ми повінні дослідити стаціонарні точки на існування локальних екстремумів. Частинні похідні другого порядку даної функціх в довільній точці дорівнюють
a) Матриця Гессе і головні мінори в першій точці є
.
Отже, ми маємо локальний мінімум в точці .
b) Для другої точки маємо
.
Таким чином, в точкі функція має локальний максимум.
Приклад. Функції
мають одну й ту ж стаціонарну точку . Їх диференціали другого порядку
Тотожно дорівнюють нулю в стаціонарній точці, і теорема 3 для цих функцій незастосовна. Легко бачити, що функція має в стаціонарній точці максимум, функція - мінімум, а функція взагалі не має екстремумів. Дійсно, , в довільній точці, відмінній від стаціонарної, тоді як при , при і при .