I. Перша частина.

1. Функція визначена і неперервна в усіх точках, відмінних від . Тому областю її визначення і неперервності є , тобто об"єднання трьох інтервалів. Точки є точками нескінченного розриву функціі, а прямі - вертикальними асимптотами її графіка.

2. Очевидно,

Наша функція є непарною, а її графік – симетричним відносно початку координат. Тому ми можемо обме- Рис. 14 житись її дослідженням тільки на інтервалі .

3. Визначення інтервалів знакосталості функції (для ).

Функція дорівнює нулю при і не існує при . Методом інтервалів ми з"ясовуємо, що функція додатна на інтервалі і від"ємна на інтервалі (рис. 14).

4. Обчислення лівої і правої границь функції в точці , тобто точці її нескінченного розриву. З врахуванням знаків функції зліва і справа від цієї точки, маємо

.

5. Існіє єдина точка перетину графіка функції з координатними осями, саме початок координат .

6. Границя функції на дорівнює

.

Отриманий результат свідчить про необхідність шукати похилу асимптоту графіка.

7. Шукаючи рівняння похилої асимптоти вигляду

,

отримуємо (див. один з попередніх прикладів) Рис. 15 .

8. Щоб з"ясувати, чи перетинається похила асимптота з графіком функції, ми повинні розв"язати систему рівнянь

Остання має єдиний розв"язок , так що асимптота зустрі чається з графіком тільки в початку координат .

9. Тепер ми можемо зобразити попередній ескіз графіка функції (рис. 15).

II. Друга частина. Дослідження функції на зростання, спадання та локальні екстремуми за допомоги її першої похідної.

10. За правилом диференціювання частки маємо

.

Похідна дорівнює нулю при і не існує при . Точки є критичними Рис. 16 точками функції. Похідна є додатною на інтервалі і від"ємною на інтервалах and (рис. 18). Отже, функція зростає на і спадає на і . В точці вона має локальний мінімум

;

Рис. 17 йому відповідає точка графіка функції.

11. Ми можемо здійснити першу корекцію попереднього ескізу графіка функції (рис. 17).

III. Третя частина. Дослідження графіка на опуклість, угнутість, відшукання точок перегину за допомоги другої похідної.

12. Друга похідна функції дорівнює

.

Вона дорівнює нулю в точці , не існує при , є від"ємною в інтервалі і додатною в інтервалі . Отже, графік функції опуклий над інтервалом і угнутий над інтервалом . Для  він не має точок перегину. Але на підставі симетричності графіка відносно початку координат він має єдину точку перегину, а саме початок координат .

13. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка в початку координат дорівнює нулю, оскільки . Це значить, що графік дотикається осі в точці свого перегину. 

14. Використовуючи результати проведених досліджень, ми можемо за бажанням скласти таблицю поведінки функції.

Тепер ми можемо здійснити другу корекцію попереднього ескізу графіка і перейти до заключної частини роботи.

IV. Четверта частина. Остаточна побудова графіка функції (див. рис.18).

Рис. 18

Приклад. Дослідити функцію

і побудувати її графік.