3.1.5. Асимптоти

Означення 7. Нехай поточна точка кривої L віддаляється у нескінченність і одночасно наближається до деякої прямої l. Ця пряма l називається асимптотою кривої L (рис. 12).

Ми матимемо справу з асимптотами графіків функцій. Розрізнюють вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти графіків.

Рис. 12

Рис. 13

1) Якщо функція є нескінченно великою при прямуванні x до точки a ( або , або ) то пряма

( 1 )

є вертикальною асимптотою її графіка (рис. 13). Приклад. Графіки функцій мають відповідно вертикальні асимптоти , бо

якщо , якщо .

2) Якщо існує скінченна границя

,

то пряма

( 2 )

є горизонтальною асимптотою для правої (відповідно для лівої) частини графіка функції.

Приклад. Горизонтальну асимптоту (вісь ) мають ліві частини графіків показникових функцій

,

оскільки

.

Якщо ж , то горизонтальну асимптоту має права частина графіка функції

,

бо в цьому випадку границя функції дорівнює нулю при .

3) Шукатимемо рівняння похилої асимптоти графіка функції в формі

( 3 )

з невідомими .

Для правої частини графіка ми повинні мати (див. рис. 12)

якщо .

Поділивши на x, ми додатково отримуємо

якщо ,

а отже

. ( 4 )

Похилу асимптоту для лівої частини графіка функції шукають в тій же формі (3), але значення параметрів даються формулами

( 5 )

Якщо принаймні одна з границь (4), (5) нескінченна або взагалі не існує, то відповідна частина графіка функції не має похилої асимптоти.

Зауважимо, що горизонтальна асимптота є частинним випадком похилої, якщо в процесі відшукання останньої ми отримуємо . На практиці ж краще спочатку шукати горизонтальні асимптоти і тільки у випадку нескінченної границі функції на (або на ) переходити до знаходження похилої асимптоти для правої (відповідно лівої) частини її графіка.

Приклад. Знайти асимптоти графіка функції

.

Розв"язок. Прямі

є вертикальними асимптотами, бо при . Для похилих асимптот

дістаємо

k = = = ;

= = =0; b=0.

Отже, обидві частини графіка функції мають одну й ту ж похилу асимптоту

y = x.

Приклад. Графік функції

не має вертикальних асимптот, бо функція неперервна на множині всіх дійсних чисел, але його ліва і права частини мають різні асимптоти. Дійсно,

Отже, прямі

є асимптотами для лівої і правої частин графіка функції відповідно.

3.1.6. Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків

Дослідження функції та побудова її графіка здійснюються за загальною схемою, сутність якої викладається нижче.

I. Перша частина. Попередній ескіз графіка функції.

1. Визначення області визначення і неперервності функції, фіксація точок нескінченного розриву і відповідних вертикальних асимптот.

2. Визначення інтервалів знакосталості функції, тобто інтервалів, на яких вона додатна або від"ємна.

3. Обчислення лівих і правих границь функції в точках її нескінченного розриву.

4. Знаходження точок перетину графіка з координатними осями.

5. Знаходження границь функції при , фіксація можливих горизон-тальних асимптот та точок їх перетину з графіком.

6. Знаходження похилих асимптот графіка у випадках нескінченної границі функції на або та точок їх перетину з графіком.

Корисно (як правило, з самого початку) з"ясувати такі два питання.

7. Чи є функція парною або непарною. Парність або непарність функції означає симетрію її графіка відносно осі Oy або початку координат відповідно і дозволяє досліджувати функцію тільки на інтервалі .

8. Чи є функція періодичною? Якщо це так, то можна обмежитись дослідженням функції тільки на якомусь одному періоді.

9. Побудова попереднього ескізу графіка функції.

II. Друга частина. Дослідження функції на зростання, спадання та локальні екстремуми за допомогою першої похідної , фіксація точок графіка, які відповідають екстремальним значенням функції, перша корекція попереднього ескізу графіка.

III. Третя частина. Дослідження функції на опуклість або угнутість та наявність точок перегину її графіка за допомоги другої похідної , друга корекція попереднього ескізу графіка. Корисно знайти кутові коефіцієнти дотичних (тобто значення першої похідної) до графіка в точках його перегину.

IV. Четверта частина. Остаточна побудова графіка функції.

Зауваження. Деякі методисти радять перед остаточною побудовою графіка функції скласти так звану таблицю поведінки функції, де зводяться до купи результати всіх проведених досліджень (нулі і точки розриву, екстремальні зна-чення функції, точки перегину, знаки функції та обох її похідних на відповідних інтервалах тощо).

Приклад. Дослідити функцію

та побудувати її графік.